Integral Linearität anwenden

Question

Hi beim Integral wurde die Linearität angewandt (Was heißt das und wo kann man das nachlesen?).

$$ \int { \frac { 1 }{ \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 } +1 }  } =2\int { \frac { 1 }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x }+2 }  }  $$

Danke für hilfreiche Erklärungen.

Wie  kommt man beim zweiten Integral auf die +2 im Nenner, das sehe ich gerade nicht...

S: Wenn mir Jemand die Linearität erklären könnte oder eine gute Quelle weiß, dann wäre das nett!

Ist damit einfach das Erweitern gemeint?

Answer 1

∫ 1 / [ (e^x + e^-x) / 2 + 1 ] dx   =   ∫ 1 / [ (e^x + e^-x ) / 2 + 2/2 ] dx

               =  ∫ 1 / [ (e^x + e^-x + 2 ) / 2 ] dx

           Division durch Bruch  ↔ Multiplikation mit Kehrwert:

               =   ∫  2 / (e^x + e^-x + 2 )  dx   = _Linearität     2 •  ∫  1 / (e^x + e^-x + 2 )  dx

[ Linearität bedeutet, dass man einen konstanten Faktor im Integral vor das Integral schreiben kann. ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

Es ist \( \frac{e^x + e^{-x}}{2} + 1 = \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{e^x + e^{-x} + 2}{2} \) wegen Addition von Brüchen.

Es ist \( \frac{1}{\frac{e^x + e^{-x} + 2}{2}} = \frac{2}{e^x + e^{-x} + 2} \) wegen Division von Brüchen.

Es ist \( \frac{2}{e^x + e^{-x} + 2} = 2\cdot \frac{1}{e^x + e^{-x} + 2} \) wegen Multiplikation von Brüchen.

Es ist \( \int 2\cdot \frac{1}{e^x + e^{-x} + 2} dx = 2 \int \frac{1}{e^x + e^{-x} + 2} dx\) wegen Linearität von Integralen.

Übrigens ist nicht nur Integration linear, sondern auch Ableiten. Da kennst du das vielleicht unter dem Namen Faktorregel.

Answer 3

Wie  kommt man beim zweiten Integral auf die +2 im Nenner, das sehe ich gerade nicht. (...) Ist damit einfach das Erweitern gemeint?

Der Integrand wird mit 2 erweitert. Anschließend wurde der Faktor 2 aus dem Zähler vor das Integral gezogen (Linearität).

Andere Möglichkeit: Das Integral wird mit 2/2 multipliziert und die 2 aus dem Nenner in das Integral gezogen (Linearität).

Zur Linearität im Zusammenhang mit der Integralrechnung findest du hier eine kurze Notiz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Axiomatischer_Zugang