Gleichung einer Parabel 4.Ordnung gesucht

Question

Ich bearbeite gerade diese Aufgabe unten im Bild. Den Ansatz habe ich denke ich schon ich stelle die allgemeine Gleichung einer Parabel 4. Ordnung auf heißt: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e und bilde dann Ableitung 1 und 2 aber wie verfahre ich weiter? Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

a) Der Punkt (0|0) liegt auf dem Gaphen der Funktion. Also ist

        f(0) = 0

Zu Erinnerung: Es gilt ebenfalls f(0) = a·0⁴ + b·0³ + c·0² + d·0 + e. Gleichsetzen liefert die Gleichung

        0 = a·0⁴ + b·0³ + c·0² + d·0 + e

Am Wendepunkt ist die zweite Ableitung 0. Der Wendepunkt soll bei 0 liegen, also ist

    f''(0) = 0

Zu Erinnerung: Die zweite Ableitung ist f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c.  Also ist auch

    f''(0) = 12a·0² + 6b·0 + 2c.

Gleichsetzen liefert

    0 = 12a·0² + 6b·0 + 2c

und so  weiter mit den übrigen Bedingungen. Du solltest ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 unbekannten bekommen, dass du dann lösen musst. Das klingt ohne Computeralgebrasystem erst ein mal ein wenig aufwändig. Aber aus den ersten zwei Gleichungen kannst du schnell e = 0 und c = 0 ablesen und das Gleichungssystem so auf eines mit drei Gleichungen und drei Unbekannten reduzieren.

Comments

Hallo oswald,

erst einmal danke für deine schnelle Antwort! Soweit bin ich gekommen! als nächste ist ja bekannt, das ich die Extremwerte bei 0 und 6 habe. Jetzt habe ich jeweils die Werte für x in die erste Ableitung eingesetzt und anschließend gleich gesetzt:

4a*0^3 + 3b *0^2 + d = 4a*6^3 + 3b *6^2 + d.

Danach habe ich nach b aufgelöst und bekomme für b = -8a. Aber wo setze ich das nun wieder ein :(

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In die Gleichungen, die du aus  der Bedingung c) bekommst.

Grundsätzlich ist es keine schlechte Idee, zunächst das komplette Gleichungssystem aufzustellen und sich erst dann eine geignete Strategie zu überlegen, wie man das Gleichungssystem löst.

Leider get das hier nicht, weil es nur unzureichende Informationen darüber gibt, wo der zweite Schnittpunkt mit der x-Achse liegt. Aber zumindest die Bedingugnen

a) f(0) = 0, f''(0) = 0

b) f'(0) = 0, f'(6) = 0

c) f(x₀) = 0, f'(x₀) = -8 wenn x₀ der zweite Schnittpunkt mit der x-Achse ist.

sollten schon stehen bevor irgendwelche Gleichungen umgeformt werden.

Answer 2

f (x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

1) f (0)=0   => e=0

2) f'(0)=0

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d

f'(0)=0   =>  d=0

3) f'(6)=0

4a*216+3b*36+2c*6=0

864a+108b+12c=0

4) f"(0)=0

f"(x)=12ax^2+6bx+2c

f"(0)=0   => c=0

5) Nullstellen bestimmen

ax^4+bx^3=0

x^3*(ax+b)=0

x=-b/a

f'(-b/a)=4a*(-b/a)^3+3b*(-b/a)^2=-8

-4b^3/a^2+3b^3/a^2=-8

b^3/a^2=8

b=2*a^{2/3}

Einsetzen in 3)

864a+108*2*a^{2/3}=0

864a+216a^{2/3}=0

4a=-a^{2/3}

4=-a^{-1/3}

-4=1/a^{1/3}

a=-1/64

b=2*a^{2/3}=2*(-1/64)^{2/3}=2/16=1/8

f(x)=-1/64*x^4+1/8*x^3

Answer 3

f  ( x ) = a * x^4 + b*x^3 + c * x^2 + d * x  + e
f ( 0 ) = 0  => e = 0

f ( x )  = a * x^4 + b*x^3 + c * x^2 + d * x
f ´ ( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´ ( 0 ) = 0  => d = 0

f  ( x ) = a * x^4 + b*x^3 + c * x^2
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 + 6 * b * x + 2 * c
f ´´( 0 ) = 0  => c = 0

f  ( x ) = a * x^4 + b*x^3
f ´  ( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2
f ´ ( 6 ) = 0
4 * a * 6^3 + 3 * b * 6^2 = 0
b =  - 8 *a

f  ( x ) = a * x^4 + b*x^3
f  ( x ) = a * x^4 + (-8a) * x^3
Nullpunkte
a * x^4 -8a * x^3  = 0
x = 0
2.Nullpunkt
x =  8

f ´( x ) = 4 * a * x^3 - 8 * 3 * a * x^2
f ´ ( 8 ) = -8
a = - 1/64

b =  - 8 *a
b = 1 / 8

f ( x ) = - 1/64 * x^4 + 1 / 8 * x^3

Answer 4

Der Ursprung ist Sattelpunkt der Funktion, also gilt

$$f(0)=f'(0)=f''(0)=0$$ und damit$$c=d=e=0.$$Es genügt daher der Ansatz:$$f(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 = a \cdot x^3 \cdot \left(x + \dfrac{b}{a} \right).$$