Konvergenz einer Reihe in Abhängigkeit von einer Variabel

Question

es steht folgende Aufgabe im Raum:

Bestimme alle X Element aus R, für die die Reihe konvergent ist.

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{{(3 \cdot {2}^{2/k})}^{k} \cdot {(x-5)}^{k} } $$

Ich habe das Wurzelkriterium angewandt, und als Ergebnis bekommen, das X kleiner als 16/3 sein muss, damit die Reihe konvergent ist. Kann dies passen?

Vielen Dank

Comments

ich habe angefangen in den Ferien angefangen Mathe zu lernen. jefoch stehe ich bei folgenden Aufgaben auf dem Schlauch. es wäre sehr nett, wenn jemand mir ausführlich erklärend jemand i) und ii) vorrechnet.

lg

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Aufgabe i) und ii) kannst du hier finden:

https://www.mathelounge.de/409520/

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EDIT: Falls von Interesse:

iii) vgl https://www.mathelounge.de/410977/bestimme-alle-x-element-r-fur-welche-die-reihe-konvergiert

Answer 1

ja das stimmt, aber zusätzlich gilt auch noch x>14/3 (Konvergenzradius ist 1/3)

Comments

Stimmt, den habe ich völlig vergessen :D

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wie hast du den Konvergenzradius bestimmt?

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Mithilfe des Quotientenkriteriums:

$$ r=\lim_{n\to\infty}|\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }| $$

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ich kann doch i 4 (3x-5)^k umschreiben?

könntest du mir vielleicht zeigen, wie man eingesetzt den radius bekommt?

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Nein,diese Umformung stimmt nicht und verkompliziert die Sache auch nur unnötig.

Eine Potenzreihe hat die Form

$$ \sum_{k=0}^{\infty}{}{ a }_{ k }(x-{ x }_{ 0})^k $$

Diese Form ist in dem Beispiel schon gegeben mit

$$ { a }_{ k }={ (3*{ 2 }^{ 2/k }) }^{ k }=3^k2^2=4*3^k$$

Das setzt du in die Formel für den Konvergenzradius ein und erhältst

$$ r=\lim_{k\to\infty}|\frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }|\\\lim_{k\to\infty}|\frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }|\\=\lim_{k\to\infty}|\frac { 4*3^k }{ 4*{ 3 }^{ k+1 } }|\\=\lim_{k\to\infty}|\frac {1 }{ 3 }|=\frac { 1 }{ 3 }$$

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Dankeschön

wie berechnet man den radius in b )

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Das steht unten bei der Antwort von Lu in den Kommentaren.

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habe es leider nicht gefunden...

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zu a)

Damit konvergiert die Reihe für alle x aus (5−1/3,5+1/3) und divergiert außerhalb von [5−1/3,5+1/3]. Es bleibt noch die Punkte 5−1/3 und 5+1/3 zu untersuchen. Wie mache ich das? und ist das bis jetzt richtig.

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Setze x=5−1/3 und x=5+1/3 in die Reihe ein und untersuche sie auf Konvergenz.

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könntest du mir das zeigen?

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Probier es doch erstmal selber. Du brauchst bloß einsetzen und den Term in der Summe vereinfachen.

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{{(3 \cdot {2}^{2/k})}^{k} \cdot {(5-\frac { 1 }{ 3 }-5)}^{k} }=\sum_{k=1}^{\infty}? $$

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einmal -1/3 und dann noch 1/3

wie geht es weiter?

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Nein, das stimmt leider nicht.

Bestimme das ? nocheinmal.

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wieso denn das...?

könntest du es mir denn nicht zeigen?

meine antwort bezog sich auf den term

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Das Fragezeichen entscheidet, ob die Summe konvergiert oder divergiert. Deshalb musst du das Fragezeichen zuerst bestimmen. Das ist erstmal nur der Fall x=5-1/3. Ohne Berechnung des Fragezeichens kann die Aufgabe nicht fortgesetzt werden !

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4*(-1)^k=4*3^k (-1/3)^k

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Ok 4*(-1)^k stimmt.

Du hast also -4+4-4+4-4+.... Konvergiert die Reihe?

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ja

zu ii da die reihe harmonisch ist braucht man kein radius

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Nein, die Reihe konvergiert nicht.

zu ii): was soll daran harmonisch sein?

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stimmt ist ja alternierend. Wie fahre ich fort

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zu ii) meinte geometrisch, sry, da braucht man doch kein radius

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zu ii) das steht schon weiter unten in einem Kommentar. Der Fragesteller hat dort sogar die Lösung aufgeschrieben.

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und i)???........

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i) hast du doch gerade eben gelöst

Die Reihe konvergiert für x∈(5-1/3,5+1/3). An den Randpunkten divergiert die Reihe.

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warum divergiert die Reihe für 5+1/3

Answer 2

Ob du den Konvergenzradius richtig ausgerechnet hast, will ich jetzt nicht nachrechnen.

Aber " Ich habe das Wurzelkriterium angewandt, und als Ergebnis bekommen, das X kleiner als 16/3 sein muss, damit die Reihe konvergent ist. Kann dies passen?  " 

Stimmt so sicher nicht. 

Für x=5 konvergiert die Reihe auf jeden Fall. Das Zentrum des Konvergenzbereichs muss dort liegen. 

Du bekommst eher ein Intervall (5-Konvergenzradius, 5+Konvergenzradius)  . Danach musst du auch noch schauen, ob einer der Eckpunkte des gefundenen Intervalls noch zum Konvergenzbereich hinzukommt. 

Comments

Ah, habe leider anders gedacht. Werde noch einmal neu rechnen, habe den Konvergenzradius außer acht gelassen. Vielen Dank

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Bitte. Offenbar stimmt der Konvergenzradius 1/3 . Zumindest steht das in der vorhandenen Antwort (unten).

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So, der KR von der anderen Antwort stimmt, weshalb hier  x $$ \in $$  (14/3, 16/3) sein muss, oder?

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habe ich nun Folgende Reihe:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{{x}^{n}}{{(2+x)}^{n}}} $$

Wie gehe ich da vor? ist dies dann überhaupt eine Potenzreihe? Oder muss ich einen anderen Weg wählen?

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Das ist eine geometrische Reihe mit $$ q=\frac { x }{ 2+x } $$.

Da weißt du bestimmt, wann sie konvergiert.

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Danke, bei Reihen und Folgen gibt es so viele spezial Fälle, da muss ich mir einen Überblick verschaffen :)

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Ist x>-1 die Korrekte Lösung?

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Ja das ist richtig :)

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So, der KR von der anderen Antwort stimmt, weshalb hier  x

∈∈

 (14/3, 16/3) sein muss, oder?

Ja. Das stimmt soweit. Hast du denn die beiden Randpunkte des Intervalls zurecht ausgeschlossen? 

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Wie bestimme ich denn, ob die Randpunkte mit in mein Intervall gehören?