Wie muss die Variabel a gewählt werden, damit k echt parallel zu E verläuft?

Question

Ab hier komme ich irgendwie nicht mehr weiter , kann mir jemand weiterhelfen wie ich herausfinde für welches a die Gerade und die Ebene echt parallel verlaufen?

Also die Gleichung muss ja dann zu einem Widerspruch  führen aber wie finde ich das richtige a heraus?

Answer 1

Ebene und Gerade sind parallel wenn der Normalenvektor der Ebene orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist.

Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform ablesen.

Orthogonalität prüfst du mit dem Skalarprodukt.

Lautet also zum Beispiel die Gerade

       \(\vec x =\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\a-3\end{pmatrix}\)

und die Ebene

        \(4x+y+2z=12\)

dann löse die Gleichung

       \(\begin{pmatrix}-4\\3\\a-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}=0\).

Also die Gleichung muss ja dann zu einem Widerspruch führen aber wie finde ich das richtige a heraus?

Zunächst ein mal lautet die korrekte Gleichung

        \(r\cdot(-19 + 2a) = -10\)

Auf der linken Seite steht ein Produkt. Dieses soll -10 ergeben.

Wenn du für r eine Zahl einsetzt, dann kann du meistens den zweiten Faktor (-19+2a) so wählen, dass das Produkt -10 ergibt. Ist zum Beispiel r = 2, dann muss -19+2a = -5 sein.

Einzige Außnahme, wo das nicht geht, ist wenn r = 0 ist. Dann bekommst du nie -10 als Produkt.

Ebenso verhält es sich auch mit dem anderen Faktor: wenn -19+2a = 0 ist, dann kann das Produkt nicht -10 sein.

Answer 2

Der Normalenvektor der Ebene muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein: \( \begin{pmatrix} -4\\3\\a-3 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 4\\1\\2 \end{pmatrix} \) =0. Gilt für a=9,5.

Comments

Könnte die Gerade so nicht auch identisch sein mit der Ebene?

---

Gerade und Ebene können prinzipiell nicht identisch sein. Eine Gerade ist eindimensional und eine Ebene ist zweidimensional.

Es könnte aber im Allgemeinen so sein, dass die Gerade in der Ebene liegt. In deinem konkreten Fall ist das aber ausgeschlossen, weil der Aufpunkt der Geraden nicht in der Ebene liegt.

Answer 3

Hallo,

eine Gerade und eine Ebene sind parallel zueinander, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden null ist.

$$\begin{pmatrix} 4\\1\\2 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} -4\\3\\a-3 \end{pmatrix}=0$$

Zur Kontrolle: a = 9,5

Gruß, Silvia