Allgemeine Lösung Gleichungssystem

Question

Ich habe eine Matrix A gegeben und soll die allgemeine Lösung des Gleichungssystem angeben wobei gilt Ax=b

mit A =

2	2	-1	0	1
-1	-1	2	-3	1
1	1	-2	0	-1
0	0	1	1	1

 und b =(0,0,-3,3)

Wenn ich das mit Gaus umforme komme ich auf

-1	-1	2	-3	1	0
0	0	1	1	1	3
0	0	0	-3	0	-3
0	0	0	0	0	0

Der Rang der erweiterten ist gleich der Koeffizienten Matrix und kleiner 4. Gibt es also nicht mehrere Lösungen? Wie kann ich dann eine Lösung angeben?

Danke schon mal für die Hilfe und schönes neues Jahr!

Answer 1

führe die Umformung nach Gauß konsequent weiter durch, so als ob Du die Gleichung vollständig lösen kannst. Ich erhalte dann:

In der letzten Zeile stehen nur 0'en - also 0=0. D.h. dort ist kein Widerspruch und es existieren grundsätzlich Lösungen.

Nenne ich die Koeffizienten im Lösungsvektor \(x\) \(x_1\) bis \(x_5\), so kann man aus der dritten Zeile lesen, dass \(x_4=1\) ist. Setze ich \(x_5=t_1\), so steht in der zweiten Zeile \(x_3 + t_1=2\) bzw. \(x_3=2-t_1\). Übrig bleibt die erste Zeile - da diese unterbestimmt ist, setzte ich \(x_2=t_2\) und erhalte \(x_1=1-t_1-t_2\). Das ganze in vektorieller Schreibweise: $$x=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\2 \\1 \\0 \end{pmatrix}+t_1 \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ -1\\ 0 \\1\end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \\0\end{pmatrix}$$ Damit sind alle Lösungen von \(x\) angegeben. Multipliziere jeden der drei Vektoren aus der Lösung mit der Matrix \(A\) und Du siehst warum das korrekt ist.

Gruß Werner

Comments

Hmm für den 1.Vektor bekomme ich (0,0,-3,3) und für die anderen 2 (0,0,0,0). Hab ich mich da verrechnet oder übersehe ich da was? Stimmt die Aussage das es mehrere Lösungen gibt? Eigentlich schon weil t ja beliebig ist oder irre ich mich da?

Danke für die Hilfe!

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Deine (Lösungs-)vektoren haben nur 4 statt 5 Koeffizienten. Das kann also kein Teil der Lösung sein. Wenn Lösungen existieren, muss es mehr als eine Lösung geben, da das Gleichungssystem unterbestimmt ist. In diesem Fall liegen alle Lösungen in einer Ebene, da der Rang von \(A\) gleich 3 ist und der Lösungsraum 5 Dimensionen hat.

Die Lösung, die ich oben angeben habe, ist nicht eindeutig, was die Vektoren angeht; aber die beschrieben Ebene muss immer identisch sein.

Ich wünsche noch einen guten Rutsch