Aus den Koordinaten des Dreiecks A( -2/ -13) B(8/1) C(-6/ 15) den Mittelpunkt des Umkreises berechnen

Question

A( -2/ -13 ) B ( 8/1) C (-6/ 15)

 

ich muss mit diesen Koordinaten den Umkreis berechnen 

mein x beträgt 31/6 

ich habe begonnen eine Gleichung aufzustellen

X * AB =  A + B /2 * AB

X * BC = B+C /2 * BC

 

10x+14y= -26

-14x+14y= 98   die beiden abgezogen um x zu bekommen mein x= 5,16 ist das Richtig??

Comments

X * AB =  (A + B) /2 * AB

X * BC = (B+C) /2 * BC

10x+14y= -26

-14x+14y= 98   die beiden abgezogen um x zu bekommen mein x= 5,16 ist das Richtig??

Auf der rechten Seite deiner Gleichungen stehen vermutlich die Mittelsenkrechten. Da fehlen die Klammern. Zudem solltest du korrekt die Ortsvektoren OA … benutzen. Also:

 

X * AB =  (OA + OB) /2 * AB

X * BC = (OB+OC) /2 * BC

Was du nun links von der Gleichung hast, müsstest du mir in Worten erklären. Mir ist nicht klar wie du nun auf die Zahlen kommst.

Answer 1

Ich sehe, dass du da eine geometrische Lösung machst, und schaue das nachher noch an. 

Hier mal ein rein rechnerischer Weg zu den Koordinaten des Umkreismittelpunktes: A( -2/ -13 ) B ( 8/1) C (-6/ 15)

Sagen wir der Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten M(x|y)

So ist er von allen 3 Punkten gleich weit entfernt. (Entfernung = Radius des Umkreises)

Es gilt

1. |MA| = |MB|

und

2. |MA| = |MC|

1. √((x+2)^2 + (y+13)^2) = √((x-8)^2 + (y-1)^2)

2.  √((x+2)^2 + (y+13)^2) = √((x+6)^2 + (y-15)^2) 

 

1.' ((x+2)^2 + (y+13)^2) = ((x-8)^2 + (y-1)^2)

2.'  ((x+2)^2 + (y+13)^2) = ((x+6)^2 + (y-15)^2) 

Du hast nun 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Das sollte eigentlich lösbar sein, wenn die 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Betrachte mal die schrittweise  maschinelle Auflösung davon von Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%28x%2B2%29%5E2+%2B+%28y%2B13%29%5E2%29+%3D+%28%28x-8%29%5E2+%2B+%28y-1%29%5E2%29+%2C++%28%28x%2B2%29%5E2+%2B+%28y%2B13%29%5E2%29+%3D+%28%28x%2B6%29%5E2+%2B+%28y-15%29%5E2%29++++

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Comments

wie kommst du auf 20x +28y=-108

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Binome der ersten Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen.

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kannstdu mir das auf langsame Art zeigen ?? ich hab es immer falsch :(

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((x+2)^2 + (y+13)^2 ) = ((x-8)^2 + (y-1)^2 ) Hier für die erste Gleichung:

x^2 + 4x + 4 + y^2 + 26y + 169 = x^2 - 16x + 64 + y^2 - 2y + 1           |-x^2 - y^2
4x + 4 + 26y + 169 = - 16x + 64 - 2y + 1                                                   |+ 16x + 2y -173
20x + 28y = -108                                                                                      |:4

5x + 7y = -27

2. Gleichung

((x+2)^2 + (y+13)^2) = ((x+6)^2 + (y-15)^2)
x^2 + 4x + 4 + y^2 + 26y + 169 = x^2 + 12x + 36 + y^2 - 30y +225
4x + 4 + 26y + 169 = 12x + 36 -30y + 225 |-12x + 30y - 173
-8x + 56y = 88

-x + 7y = 11
7y-11 = x einsetzen in
5x + 7y = -27

5(7y-11) + 7y = -27
35y - 55 + 7y = -27
42y = 28
y = 28/42 = 2/3
7*2/3 - 11 = x = 14/3 - 33/3 = 19/3

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was ist mit x² und y² passiert  ?? wieso sind die einfach weg? ich versteh schon man kann sie wegkürzen

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was ist mit x² und y² passiert  ?? wieso sind die einfach weg? ich versteh schon man kann sie wegkürzen

Soweit ich mich erinnere, übst du gerade für das Abitur. Da reit ich mal auf deiner Terminololgie rum.

Mit 'kürzen' hat das nichts zu tun, da du weit und breit keinen Bruch hast.

Man sagt: 'Man subtrahiert links und rechts x^2 und y^2.'

Answer 2

Ein anderer Weg ist wenn man weiß das sich die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt schneiden.

A = [-2, -13], B = [8, 1], C = [-6, 15]

 

Mittelpunkt zwischen A und B
MAB = 1/2 * (A + B) = 1/2 * ([-2, -13] + [8, 1]) = [3, -6]

Richtungsvektor AB
AB = B - A = [8, 1] - [-2, -13] = [10, 14]
Senkrecht dazu ist [14, -10] bzw. [7, -5]

 

Mittelpunkt zwischen B und C
MAB = 1/2 * (B + C) = 1/2 * ([8, 1] + [-6, 15]) = [1, 8]

Richtungsvektor BC
BC = C - B = [-6, 15] - [8, 1] = [-14, 14]
Senkrecht dazu ist [14, 14] bzw. [1, 1]

 

Mittelsenkrechten aufstellen und gleichsetzen

[3, -6] + r * [7, -5] = [1, 8] + s * [1, 1]
r = - 4/3 ∧ s = - 22/3

Umkreismittelpunkt

[3, -6] + (- 4/3) * [7, -5] = [-19/3, 2/3]