Homomorphiesatz. Frage zur Umformung.

Question

Es geht um die Lösungen zur folgenden Aufgabe 2a (siehe Bild)

Ich verstehe die Umformung nicht ganz...

Wieso gehen wir von 4 Variablen aus? also, wieso nehmen wir nicht einfach nur 2? und auch die verdrehungen in der klammer verwirren mich. wieso nehmen wir x+u ? und wieso y+v ??

und vorallem die von mir in den Kasten gesetzte zeile verwirrt mich... kann mir vielleicht jemand so klar und kleinlich wie möglich erklären wie und WIESO diese umformungen zustande kommen ?

danke schonmal im Voraus

Aufgabenstellung ist ganz am ende.

Comments

Wenn du so was beweisen möchtest, schreibst du dir am besten erst mal den Anfang (erste Zeile) und das Ziel der Umformung (letzte beiden Zeilen) hin.

Dann überlegst du dir, was man dazwischen rechnen könnte, um vom Anfang zum Ende zu gelangen (Zeilen 2 und 3) .

Answer 1

Es geht um einen Hom. von IR2 nach IR2 .

Du könntest also beginnen mit : Seien  r, s beide aus IR2 dann ist zu

zeigen   f( r+s) = f(r) + f(s) .

Die Elemente von IR² sind Paare.  Damit du mit r und s rechnen kannst, musst du dir

also die einzelnen Komponenten der Paare vorstellen, etwa

r = (x,y) und  s = (u,v) . Dann hast du erst mal:

f( r+s) =   f( (x,y) + (u,v) )

nach der Definition der Addition für Paare ist das

= f (  (x+u, y+v) ) und jetzt musst du die Definition von f anwenden

und dabei a= x+u   und  b= y+v einsetzen und das gibt dann

die 2. Zeile deiner Mitschrift.  Vielleicht ist es jetzt klarer ?

Comments

Aah vielen lieben dank! aber wieso drehen wir das bei der dritten Zeile wieder um? also wieder zurück zu x-y ?

und zur 4ten Zeile: wir zeigen ja beide Seiten, also x-y und y-x und ändern die klammern. hängt das mit den assoziativ und distributivgesetz zusammen ?

lg

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* achja und verstehe ich das richtig, dass das , dem mal (*) gleich kommt ?

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aber wieso drehen wir das bei der dritten Zeile wieder um? also wieder zurück zu x-y ?Du musst ja irgendwie wieder auf die Def. der Abbildung kommen, die dahieß  f(a,b) = ( a-b , b-a)

Dann "sieht" man, dass    (x-y , y-x) genau das Bild von (x,y) ist.