Deine Bezeichnungsweise scheint mir etwas wirr. Was ich kenne, ist Folgendes.
Unter allen Automorphismen einer Gruppe G sind die ===> inneren ausgezeichnet
ß_a : G =====> G ( 1a )
x =====> a x a ^ - 1 ( 1b )
Es wäre also zu zeigen: ß ist Automorphismus. Ferner zu zeigen
1) Alle Bijektionen von G auf sich bilden eine Gruppe ( Das ist bei jeder Menge so. )
2) Aut ( G ) , die Automorphismen von G, bilden eine Untergruppe von 1)
3) Und Int ( G ) , die inneren Automorphismen, bilden ihrerseits eine Untergruppe von Aut ( G )
Zwei Gruppenelemente x und y mögen konjugiert heißen; in Formelzeichen
y ( = ) x : (E) a | y = ß_a ( x ) ( 2 )
( 2 ) erinnert stark an die Basistransformation aus der AGULA ; und gleich dieser handelt es sich um eine Gleichheitsbeziehung ( GB ) Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch. Es heißt GB und nicht Äquivalenzrelation .
In einer kommutativen Gruppe sind zwei Elemente schon dann gleich, wenn sie konjugiertn sind; jedes liegt in seiner eigenen Klasse. Hier ich hab ein schönes Übungsbeispiel für dich; die Symmetriegruppe Q eines Quadrates. Am Besten du kriegst irgendwo ein quadratisches Glasplättchen her, dessen Ecken du markieren kannst. Q enthält acht Elemente:
1) das neutrale
2-4) drei Drehungen um die z-Achse
5;6) zwei Spiegelungen um die Mittelparallelen
7;8 ) " " " " Diagonalen
Stelle die Gruppentafel auf. Q ist nicht kommutativ; welche ihrer Elemente sind konjugiert?
Ihr wisst, dass man bei den Gruppenaxiomen bewusst auf das Kommutativgesetz verzichtet; und dies rief nun den Scharfsinn der Matematiker auf den Plan, wie man eine Gruppe " so kommutativ wie möglich " machen kann. Eines dieser Konzepte ist nun der Normalteiler. Es ist nämlich nicht selbstverständlich, dass die Konjugation die Untergruppenstruktur respektiert; nicht über sie " hinaus franst " Mit anderen Worten: Die Untergruppe N setzt sich aus vollständigen Klassen zusammen.
a N a ^ - 1 = N (V) a ( 3a )
Multiplizieren wir ( 3a ) von Rechts mit a , so ergibt sich
a N = N a ( 3b )
Beachte bitte, dass N eine Menge ist; hier ist nur von kollektiver, nicht individueller Vertauschbarkeit die Rede. In Quantorenlogik; eine Untergruppe N ist Normalteiler genau dann, wenn
(V) x € N (E) y = y_a ( x ) € N | a x = y a ( 4 )
Ein alternatives Konzept wäre die individuelle Vertauschbarkeit von Gruppenelementen; als Zentralisator von Element a bezeichnen wir die Menge
Z ( a ) := { x | a x = x a } ( 5 )
Der Zentralisator ist immer eine Untergruppe; bitte nachprüfen. Sinn gemäß kannst du auch den Zentralisator einer beliebigen Teilmenge M von Gruppe G einführen; das wäre dann die Schnittmenge der Zentralisatoren der einzelnen Elemente und ergibt notwendig wieder eine Untergruppe.
Zur freundlichen Beachtung; der Durchschnitt beliebig vieler, auch über-über-über- ... abzählbar vieler Gruppen ist immer wieder eine Gruppe.
Eine besondere Ausnahmestellung nimmt der Zentralisator Z ( G ) der ganzen Gruppe ein; der heißt dann ihr Zentrum ( Das Zentrum ist trivial ein Normalteiler. )
Und weil das so ist, induziert dieses Zentrum auch eine Quotientengruppe G / Z . Ich behaubte mal; die ist isomorph zu int ( G )
Zwei Richtungen sind zu zeigen. Angenommen zwei Automorphismen sind gleich
(V) x | a x a ^ - 1 = b x b ^ - 1 | b ^ - 1 * | * b ( 6a )
Die Umformungen habe ich wie üblich vermerkt; dabei bedeutet " Stern links " Multiplikation von Rechts und umgekehrt.
( b ^ - 1 a ) x ( a ^ - 1 b ) = x ( 6b )
Damit liegt aber das Element
z := b ^ - 1 a € Z ( G ) ===> a = b z ( 6c )
Wie vermutet, liegen damit a und b in der selben ( Links)nebenklasse von Z ; und die notwendige Bdingung ist gezeigt. Jetzt müssen wir noch die hinreichende Bedingung nachrechnen; sei also a = b z ; z € Z
a x a ^ - 1 = ( 7a )
= ( b z ) x ( z ^ - 1 b ^ - 1 ) = ( 7b )
= b ( z z ^ - 1 ) x b ^ - 1 = ( 7c )
= b x b ^ - 1 ( 7d )
Und zwar rechtfertige ich Schritt ( 7c ) damit, dass ja z im Zentrum liegt.
Was ist das Zentrum von Q ; und welche inneren Automorphismen sind gleich?
