Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n mit n >= 4 gilt: 2^n <= n!

Question

Ind Anf

n = 4

2^4 = 16

4! = 4 * 3 *2 * 1 = 24

16 <= 24

I.A

2^n = n!

Ind Schritt (n -> (n + 1))

2^{n+1} <= (n+1)!

ab hier weiß ich nicht mehr,

Answer 1

Induktionsanfang: n = 4

2^4 < 4!

16 < 24 --> stimmt!

Induktionsschritt: n --> n + 1

2^{n + 1} < (n + 1)!

2 * 2^n < n! * (n + 1)

2^n < n! aus Induktionsannahme und

2 < (n + 1) aus Induktionsannahme.

Comments

Vielen Dank , 

2 * 2ⁿ < n! * (n + 1)

woher kommt das hier n! * (n + 1)?

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(n + 1)!

= 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * (n) * (n + 1)

= n! * (n + 1)

Siehst du das so ?

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ja! verstanden, vielen Dank nochmals