Bestimme alle x element R für welche die Reihe konvergiert: (j=0∑∞) (-1)j (x2j+1)/(2j+1)!

Question

_(j=0∑∞) (-1)^j (x^2j+1)/(2j+1)!

Könnte jemand mir an Hand folgender Aufgabe zeigen, wie ich diese lösen muss?

Answer 1

Das ist die sin-Reihe.

Wenn a_j die Summanden sind, bekommst du

etwa mit dem Quotientenkriterium

|  a_j+1 / a_j | =  ( x^2(j+1)+1/ (2(j+1)+1)!    )   /    ( x^2j+1/ (2j+1)!    )

= x² / (( 2j+2)*(2j+3))   Und egal wie groß x ist, geht dieser

Ausdruck für j gegen unendlich selber gegen 0,  Er ist also

von irgendeinem j an sicherlich  kleiner oder gleich 0,5 < 1.

Also konvergiert die Reihe für alle x aus IR.