Wurzelgleichung umformen x-√(x-2) = 2

Question

Mahlzeit!

Kann mir bitte jemand erklären warum ich bei dieser Gleichung

x-√(x-2) = 2

den Ausdruck √x-2 (die Wurzel geht ist aus x - 2 zu ziehen) auf die rechte Seite bringen muss, damit ich quadrieren kann?

Laut Lehrbuch müsste ich hier eine Binomische Formel anwenden und es würte trotzdem ein Wurzelausdruck auf der linken Seite bleiben.

Dankeschön.

Answer 1

Um Wurzelgleichungen zu lösen führt man folgende Schritte durch

1. Wurzel isolieren

2. Wurzel eliminieren (durch quadrieren)

3. ggf. mehrfach anwenden.

x - √(x - 2) = 2

√(x - 2) = x - 2

(x - 2) = (x - 2)^2

(x - 2)^2 - (x - 2) = 0

(x - 2) * ((x - 2) - 1) = 0

Satz vom Nullprodukt

x - 2 = 0 --> x = 2

(x - 2) - 1 = 0 --> x = 3

Answer 2

Folgender Weg ist möglich:

x-√(x-2) = 2 |-x

-√(x-2) = 2 -x  |*(-1)

√(x-2) = x-2 | (...)^2

x-2=  (x-2)^2

x-2=  x^2 -4x +4

 x^2 -5x +6 =0

x_1.2= 5/2 ± √(25/4 -24/4)

x_1.2= 5/2 ± 1/2

x₁= 3

x₂= 2

Answer 3

Man kann auch so rechnen: $$ x - \sqrt{x-2} = 2 \\\Leftrightarrow\\x - 2 = \sqrt{x-2} \\\Leftrightarrow\\\left(\sqrt{x-2}\right)^2 = \sqrt{x-2} \\\Leftrightarrow\\\sqrt{x-2} = 0 \quad\text{oder}\quad \sqrt{x-2} = 1 \\\Leftrightarrow\\x = 2 \quad\text{oder}\quad x = 3. $$