Hallo Patrick,
Willkommmen in der Mathelounge!
wenn man eine Gleichung umformen möchte, so braucht man zunächst eine Geichung! Und das hier$$\sqrt{40 + (3+a)^2}$$... ist keine Gleichung, da kein '=' darin vorkommt. Anders ist es mit:$$\begin{aligned}7 &= \sqrt{40 + (3+a)^2} &&|\,{}^2 \\ 7^2 &= 40 + (3+a)^2 &&|\, ^*)\space \text{(s.u.)}\\ 49 &= 40 + 9 + 6a + a^2 &&|\,-49\\ 0 &= 6a+a^2 \\ 0&= a(6+a) &&|\, \implies a_1=0; \space \div a_2 \\ 0 &= 6 + a_2 &&|\,-6\\ -6 &= a_2\end{aligned}$$man beseitigt jede Wurzel, indem man die Wurzel (und nur diese!) quadriert. Hier bekommt man zwei Lösungen \(a_1=0\) und \(a_2=-6\). Bei solchen Gleichungen, wo quadriert wrd, muss mann immer(!) die Probe machen. in Diesem Fall sind beide Lösungen gültig.
*) schlauer ist es, an dieser Stelle nur die 40 abzuziehen und danach sofort die Wurzel zu ziehen. Aber das muss man 'sehen'.
Auch hier fehlt die Gleichung. Ich rate mal:$$\begin{aligned}\frac12 \sqrt 2 &= \frac{3}{\sqrt{a^{2}+5} \cdot \sqrt{2}} &&|\, \cdot \sqrt{a^{2}+5} \cdot \sqrt{2} \\ \frac12\left(\sqrt 2\right)^2 \sqrt{a^{2}+5} &= 3\\ \sqrt{a^{2}+5} &= 3 &&|\,{}^2 \\a^2+5 &= 3^2 &&|\,-5\\a^2 &= 4 &&|\,\sqrt{}\\a_{1,2} &= \pm 2\end{aligned}$$Sobald der Ausdruck mit der Wurzel auf einer Seite isoliert ist, kann man beide Seiten quadrieren (hier in der drittenZeile). Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
