Definitionsbereich finden Wurzelgleichung

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von x ist \( \sqrt{x^3+5x^2+6x} \)

Problem/Ansatz:

Die Lösungen konnte ich schon bestimmen einmal durch x ausklammern habe ich x=0 und dann mit pq formel habe ich x=-2 oder x=-3.

aber was muss ich jetzt machen damit ich die intervalle finde, für die die gleichung definiert wird

Answer 1

Aloha :)

Du kannst beim Radikand sofort \(x\) ausklammern und die quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta in Linearfaktoren zerlegen:$$\sqrt{x^3+5x^2+6x}=\sqrt{x(x+2)(x+3)}$$

Der Radikant hat 3 Nullstellen: \(x_1=-3\), \(x_2=-2\) und \(x_3=0\).

Für \(x<-3\) sind alle 3 Faktoren unter der Wurzel negativ. Also ist der Radikand negativ und die Wurzel ist nicht defniert.

Bei \(x=-3\) hat die Funktion eine Nullstelle und wechselt in den positiven Bereich. Der Radikand ist postiv. Die Wurzel ist definiert.

Bei \(x=-2\) ist wieder eine Nullstelle und der Radikant wechselt wieder in den negativen Bereich. Die Wurzel ist wieder nicht definiert.

Bei \(x=0\) ist der letzte Nulldurchgang und der Radikand wechselt wieder in den positiven Bereich. Die Wurzel ist definiert.

Die Funktion ist daher defniert für:$$x\in[-3;-2]\cup[0;\infty)$$

Answer 2

Setze einen beliebigen Wert aus den Intervallen ein und prüfe, ob der Ausdruck dort positiv oder negativ ist.

Comments

hab ich jetzt gemacht mit einer vorzeichentabelle

x	- unendlich	1	-3	-2,5	-2	-1	0	1	+ unendlich
x (x+2) (x+3)		-	0	+	0	-	0	+

aber wie genau soll ich diese tabelle jetzt interpretieren?

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Da, wo der Ausdruck positiv ist, ist die Wurzel definiert. Warum?

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heißt dann:

die gleichung wird für -3<=x<=-2 und für x>=0 definiert? hab ich das richtig verstanden

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Da, wo der Ausdruck positiv ist, ist die Wurzel definiert.

Nicht nur da.

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Korrekt. Die Nullstellen natürlich mit eingeschlossen. Ich hätte "größer gleich 0" schreiben sollen.

Answer 3

Es muss gelten:

x^3+5x^2+6x >= 0

x(x^2+5x+6) >= 0

x(x+3)(x+2) >=0

Es gibt 4 Fälle:

+ + + : x >=0 u. x>=-3  u. x>= - 2  -> x >=0

+ - - :

- - + :

- + - :

Comments

x>=0 und x>=-3 kann ich nachvollziehen aber wieso x>=-2 müsste es nicht heißen x<=-2

Answer 4

x^3 + 5·x^2 + 6·x ≥ 0

Du kennst die Nullstellen und das Verhalten im Unendlichen. Dann kennst du auch die bereiche in denen die Funktionswerte größer gleich Null sind.

-3 ≤ x ≤ -2 ∨ x ≥ 0

Skizze

~plot~ x^3+5x^2+6x ~plot~

Comments

-3 ≤ x ≤ -2 ∨ x ≥ 0

muss da ein oder stehen ? wäre meine antwort falsch wenn ich statt -3 ≤ x ≤ -2 ∨ x ≥ 0

-3 ≤ x ≤ -2 und x ≥ 0 hinschreiben würde?

Answer 5

Eine Funktion dritten Grades mit dem von dir ermittelten Nullstellen verläuft

so

oder so:.

Mache dir klar, welcher der beiden Fälle vorliegt.

Deine Wurzel ist da definiert, wo die Punkte des zutreffenden Graphen auf oder über der y-Achse liegen.

Comments

erster graph trifft zu und dann wäre es doch -3<=x<=-2 und x>0

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Fast.  Der rechte Teil ist x>=0.

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oh hab ich vergessen stimmt okay danke dir

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wie kann man daumen hoch für antworten geben da steht ist nur für bestimme mitglieder verfügbar. wann ist man denn ein bestimmtes mitglied