Aloha :)
Wir suchen die Extrema der Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(g\):$$f(x;y)=x^2+4x-y^2\quad;\quad g(x;y)=x^2+y^2=5$$
Ohne Randbedinung findest du die kritischen Punkte, indem du den Gradienten der zu optimierenden Funktion gleich dem Nullvektor setzt. Sobald konstante Nebenbedingungen gegeben sind, wird diese Null durch eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ersetzt. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, muss für die Extrema gelten:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)$$Es ist klar, dass der Koeffizeint \(\lambda\) (der Lagrange-Multiplikatior) nicht Null sein darf, weil wir dann den Fall ohne Nebenbedingung betrachten würden.
Wir setzen ein und erhalten:$$\binom{2x+4}{-2y}=\lambda\binom{2x}{2y}$$Aus der Gleichung für die 2-te Koordinate folgt sofort \(\lambda=-1\) oder \(y=0\).
1. Fall: Für \(\lambda=-1\) erhalten wir aus der Gleichung für die erste Koordinate:$$2x+4=(-1)\cdot2x\implies x=-1$$Dieses \(x\) in die Nebenbedinung eingesetzt liefert:$$x^2+y^2=5\implies (-1)^2+y^2=5\implies y^2=4\implies y=\pm2$$
Wir erhalten also 2 kritische Punkte: \(K_1(-1|-2)\) und \(K_2(-1|2)\).
Der Funktionswert ist bei beiden Punkten gleich \((-7)\).
2. Fall: Für \(y=0\) folgt aus der Nebenbedingung sofort \(x=\pm\sqrt5\).
Die Funktionswerte lauten:\(\;f(-\sqrt5;0)=5-4\sqrt5\;;\; f(\sqrt5;0)=5+4\sqrt5\)
Die Funktion hat 2 globale Minima bei \((-1|\pm2)\) und ein globales Maximum bei \((\sqrt5|0)\).
