Ich nehme an, dass die Grundmenge die Menge R der reellen Zahlen sein soll.
Die Definitionsmenge sind dann alle diejenigen Werte x ∈ R, für die beide Wurzeln einen definierten Wert haben. Eine Wurzel hat dann keinen definierten Wert, wenn ihr Radikand (also der Term unter der Wurzel) negativ ist. Die Vereinigungsmenge derjenigen Werte von x, für die das gilt, muss von der Grundmenge ausgenommen werden um die Definitionsmenge zu erhalten.
Also:
1. Wurzel:
x - 12 < 0 <=> x < 12
2. Wurzel:
x + 4 < 0 <=> x < - 4
Die Vereinigungsmenge V dieser Werte ist:
V = { x ∈ R | x < 4 } ∪ { x ∈ R | x < 12 } = { x ∈ R | x < 12 }
Also ist die gesuchte Definitionsmenge D:
D = { x ∈ R | x >= 12 }
x = 21 ist die Lösung der Gleichung. Wenn du diese Lösung in die Gleichung einsetzt, dann erhältst du eine Aussage der Form 0 = 0 ( das ist äquivalent zu 3 = 3 ), also eine immer wahre Aussage. Das aber bedeutet, dass die eingesetzte Lösung x = 21 richtig ist, denn beide Seiten der Gleichung ergeben mit x = 21 denselben Wert.
Und so berechnet man diesen Wert:
√ ( x - 12 ) = 8 - √ ( x + 4 )
Beide Seiten quadrieren (auf der rechten Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel):
<=> x - 12 = 64 - 16 * √ ( x + 4 ) + x + 4
Die Wurzel auf die linke, alles andere auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens bringen (die beiden Variablen x heben sich dabei gegeneinander auf):
<=> 16 * √ ( x + 4 ) = 64 + 12 + 4 = 80
Beide Seiten dividieren durch 16:
<=> √ ( x + 4 ) = 5
Beide Seiten quadrieren:
<=> x + 4 = 25
<=> x = 21
