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Hyperbolische Gerade durch zwei Punkte
Um den hyperbolischen Abstand zwischen zwei Punkten \(p\) und \(q\) in der Poincaré-Ebene zu berechnen, verwendet man in der Tat die Formel
\(d(p,q) = |\ln DV(p,q,v,w)|\)
Dabei ist \(DV(p,q,v,w)\) das Doppelverhältnis der Punkte \(p, q, v,\) und \(w\), wobei \(v\) und \(w\) die Schnittpunkte der Geraden durch \(p\) und \(q\) mit dem Rand des Einheitskreises sind. Der Ausdruck \(|\ln DV(p,q,v,w)|\) gibt dann den Abstand an.
Schritte zur Lösung
Step 1: Finde die Gerade durch \(p\) und \(q\)
Gegeben:
- \(p = 1/3 + i/3\)
- \(q = 1/3 - i/3\)
Diese Punkte liegen symmetrisch zur reellen Achse, daher ist die durch sie verlaufende Gerade vertikal. Daher ist die Geradengleichung einfach \(x = 1/3\), weil der reelle Teil beider Punkte identisch ist.
Step 2: Finde die Schnittpunkte \(v\) und \(w\) der Gerade \(g\) mit dem Einheitskreis
Da die Gerade \(g\) vertikal und \(x = 1/3\) für alle Punkte auf der Geraden gilt, müssen wir die Schnittpunkte dieser Linie mit dem Einheitskreis \(x^2 + y^2 = 1\) finden. Wir setzen \(x = 1/3\) in die Kreisgleichung ein:
\((1/3)^2 + y^2 = 1\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(\frac{1}{9} + y^2 = 1\)
Lösen nach \(y^2\) ergibt:
\(y^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)
Folglich haben wir:
\(y = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Also sind die Schnittpunkte:
- \(v = 1/3 + (2\sqrt{2}/3)i\)
- \(w = 1/3 - (2\sqrt{2}/3)i\)
Step 3: Berechne das Doppelverhältnis \(DV(p,q,v,w)\)
Das Doppelverhältnis ist definiert als:
\(DV(p,q,v,w) = \frac{(p-v)(q-w)}{(p-w)(q-v)}\)
Einsetzen der Werte:
\( D V=\frac{((1 / 3+i / 3)-(1 / 3+2 \sqrt{2} / 3 i))((1 / 3-i / 3)-(1 / 3-2 \sqrt{2} / 3 i))}{((1 / 3+i / 3)-(1 / 3-2 \sqrt{2} / 3 i))((1 / 3-i / 3)-(1 / 3+2 \sqrt{2} / 3 i))} \quad=\frac{(-\sqrt{2} / 3 i+i / 3)(\sqrt{2} / 3 i-i / 3)}{(\sqrt{2} / 3 i+i / 3)(-\sqrt{2} / 3 i-i / 3)}=\frac{(-1 / 3 \sqrt{2} i+1 / 3 i)(1 / 3 \sqrt{2} i-1 / 3 i)}{(1 / 3 \sqrt{2} i+1 / 3 i)(-1 / 3 \sqrt{2} i-1 / 3 i)} \quad=\frac{(-i(\sqrt{2}-1) / 3)(i(\sqrt{2}-1) / 3)}{(i(\sqrt{2}+1) / 3)(-i(\sqrt{2}+1) / 3)}=\frac{(\sqrt{2}-1)^{2}}{(\sqrt{2}+1)^{2}} \cdot \frac{1}{9} \)
Step 4: Berechne den hyperbolischen Abstand
\(d(p,q) = |\ln DV|\)
\(d(p,q) = \left|\ln \left(\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right|\)
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, beachten Sie:
\(\ln \left(\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2} \cdot \frac{1}{9}\right) = 2\ln(\sqrt{2}-1) - 2\ln(\sqrt{2}+1) - 2\ln(3)\)
Der abschließende Abstand ist die absolute Wert dieses Ausdrucks.
Dies ist der grundsätzliche Weg, um den Abstand zu berechnen. Beachten Sie, dass einige algebraische Schritte vereinfacht oder anders interpretiert werden könnten abhängig von Konventionen und der spezifischen Methodik zur Berechnung des Doppelverhältnisses und des hyperbolischen Abstands.
