Abstandsberechnung Ebene-Punkt-Koordinatenform in Parameterform

Question

Aufgabe:

Ich soll den Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt berechnen.

Das habe ich gemacht, es kam aber etwas falsches raus.

Den Grund für das falsche Ergebnis kenne ich:

Bei der Transformation von der Koordinatenform in die Parameterform habe ich einen Fehler :

$$A = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , B = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \text { und } C = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right)$$

Diese Punkte sollen rauskommen.

Punkt A als auch C habe ich raus, auf B komme ich jedoch nicht.

Wie kommt man auf den Punkt B ?

Answer 1

Setze y = 1 und z = 0 in die Gleiching 3x + 4z = 6 ein und löse nach x auf.

auf B komme ich jedoch nicht

Woran hast du erkannt, dass dein B falsch ist?

Comments

Ich habe bei B 000 raus, da ich angenommen habe, dass y 0 ist.

Man soll ja bei der Umwandlung 3 Nullstellen herausfinden.

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Ich muss X doch auch auf 0 setzen oder nicht ?

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Kannst du das mal vorrechnen ?

Ich dachte immer, dass man bei der Umwandlung erst x , dann y und dann z  die Nullstellen berechnet.

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Das du für B einen anderen Vektor als den in der Musterlösung hast, ist kein Grund, dass dein Vektor falsch ist.

Dass dein Vektor die Gleichung 3x + 4z = 6 nicht erfüllt (3·0 + 4·0 = 0 ≠ 6), ist ein Grund, dass dein Vektor falsch ist.

Man soll ja bei der Umwandlung 3 Nullstellen herausfinden.

Man soll drei Punkte finden, die in der Ebene liegen, aber nicht auf der selben Gerade.

Dazu legt man den Wert von zwei Variablen in der Gleichung fest und rechnet die dritte aus. Natürlich ist es am einfachsten, die zwei Variablen auf Null festzulegen. Ich vermute mal, das hast du bei A und C so gemacht, also

    y = 0, z = 0 einsetzen liefert 3·x + 4·0 = 6 also x = 2

    x = 0, y = 0 einsetzen liefert 3·0 + 4·z = 6 also z = 3/2

Die so gefundenen Punkte sind die Schnittpunkte mit der x- bzw. z-Achse.

Bei B kommst du aber zu

    x = 0, z = 0 einsetzen liefert 3·0 + 4·0 = 6 also 0 = 6

Das sagt aus, dass es keinen Punkt in der Ebene gibt, dessen x-Koordinate und z-Koordinate Null sind. Mit anderen Worten, die Ebene schneidet die y-Achse nicht.

Dann muss man weiter suchen mit Werten, die nicht so leicht zu behandeln sind wie die Null, zum Beispiel mit den in meiner Antwort genannten.

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danke dir, ich habe verstanden was du meinst, nur wie komme ich darauf etwas für y einzusetzen , obwohl y nicht vorhanden ist ?

Ich habe versucht nach x und nach z umzustellen: Es kam jedes mal x bzw. z =0 raus, was ja auch klar ist (s.deine Erklärung)

Wie aber darauf kommen y=1 einzusetzen ?

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" obwohl y nicht vorhanden ist ?"

Das ist nicht wahr. Die Ebenengleichung lautet

3x + 0y + 4z = 6.

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wenn ich denn aber für y=1 einsetze wäre der Punkt doch einfach nur (0 6 0).

Ps: Habe mich etwas falsch ausgedrückt bei y

(verzeih mir)

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nur wie komme ich darauf etwas für y einzusetzen

Jeder Punkt hat eine y-Koordinate.

, obwohl y nicht vorhanden ist ?

Das Wort Einsetzen mag da vielleicht etwas irreführend sein. Es ist aber nun ein mal das Wort, das in der Schule dafür gebraucht wird. Genauer gesagt werden den Variablen Werte zugewiesen.

Wie aber darauf kommen y=1 einzusetzen ?

y = 0 kommt zufälligerweise schon in Punkt A vor.

wenn ich denn aber für y=1 einsetze

Dann hättest du immer noch die Gleichung 3x + 4z = 6 und würdes nicht weiter kommen. Es wäre dann immer noch B = (x 1 z). Setze noch für x oder für z etwas ein, dann kannst du die fehlende Koordinate ausrechnen.

wäre der Punkt doch einfach nur (0 6 0).

Das kann nicht sein. Wenn du die y-Koordinate 1 festlegst, dann kann die nicht plötzlich 6 sein.