Ist der Grenzwert in diesem Fall 0?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{1-\cos (x)} \).

Problem/Ansatz:

Sollte hier nicht der Grenzwert 0 rauskommen ,da der lim von cos(x/2) und cos(x) für x -> 0

1 ist und somit ergibt der lim 1-cos(x/2)/1-cos(x) gleich  0  ?

Wenn nein, wieso ?

Comments

$$\quad\lim_{x\to0}\frac{1-\cos\frac x2}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{1-\cos2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{1-(2\cos^2x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{2\cdot(1-\cos^2x)}\\=\frac12\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac12\lim_{x\to0}\frac1{1+\cos x}=\frac12\cdot\frac1{1+1}=\frac14.$$

Answer 1

Dann zeichne das doch mal

~plot~ (1-cos(x/2))/(1-cos(x)) ~plot~

Nur weil der Zähler für den Grenzfall 0 herauskommt ist der Grenzwert nicht null. Denn der Nenner wird dann ja auch null und damit ist der Ausdruck nicht definiert.

Comments

Du könntest die Regel von L'Hospital anwenden um den Grenzwert zu bestimmen. Du kommst wie Grafisch zu entnehmen auf einen Grenzwert von 1/4.

Answer 2

Nein, weil der Nenner dann gleich 0 wäre. Du müsstest dann z.B. L'Hospital (mehrmals) verwenden.