Aloha :)
Zur Bestimmung der Extrema von$$f(x;y)=\frac{(x-y)^3}{3}-\frac{x^2}{2}+y-1$$brauchen wir die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad} f(x;y)=\binom{(x-y)^2-x}{1-(x-y)^2}$$Aus der Bedingung für die zweite Koordinate$$0\stackrel!=1-(x-y)^2\implies(x-y)^2=1$$folgt durch einsetzen in die Bedingung für die erste Koordinate:$$0\stackrel!=(x-y)^2-x=1-x\implies x=1$$Die passenden \(y\)-Werte folgen so:$$(x-y)^2=1\implies(1-y)^2=1\implies1-2y+y^2=1\implies y(y-2)=0$$Damit haben wir 2 Kandidaten für Extremwerte:$$K_1(1|0)\quad;\quad K_2(1|2)$$
Zur Prüfung dieser Kandidaten setzen wir die Werte in die Hesse-Matrix$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}2(x-y)-1 & -2(x-y)\\-2(x-y) & 2(x-y)\end{array}\right)$$und erhalten:$$H_1(1;0)=\left(\begin{array}{rr}1 & -2\\-2 & 2\end{array}\right)\quad;\quad H_2(1;2)=\left(\begin{array}{rr}-3 & 2\\2 & -2\end{array}\right)$$\(H_1\) ist indefinit, \(H_2\) ist negativ definit.
Daher ist bei \(K_1(1|0)\) kein Extremum und bei \(K_2(1|2)\) liegt ein Maximum.
