bestimmen Sie die lokalen Extrema von f(x)

Question

Aufgabe:

bestimmen Sie die lokalen Extrema von f(x)

f(x) = sqrt(x) - x + (1/4)x^(2)

Problem/Ansatz:

die 1.Ableitung f'(x) = (1/(2*sqrt(x)) - 1 + (1/2)x

f'(x) = 0

ich komme beim bestimmen der Nullstellen immer auf:

1 + x = 4*sqrt(x)    auf beiden Seiten quadrieren

1+ x^(2) = 16x

x^(2) - 16x + 1 = 0    pq-Formel

aber das ist laut der lösung schon falsch

die Nullstellen müssen x1 = 1 und x2 = (-sqrt(5)/2) + 3/2)

Comments

Wie kommst du auf 1 + x = 4·√x ?

Mein Rechner meint, das ist bereits verkehrt.

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x)=\sqrt x-x+\frac14x^2\quad;\quad x\ge0$$finden wir dort, wo die erste Ableitung veschwindet:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-1+\frac12x\quad\bigg|\cdot2\sqrt x$$$$0=1-2\sqrt x+x\sqrt x=x\sqrt x\,\underbrace{-\,x+x}_{=0}\,\underbrace{-\,\sqrt x-\sqrt x}_{=-2\sqrt x}+1$$$$0=(x\sqrt x-x)+(x-\sqrt x)-(\sqrt x-1)$$$$0=x(\sqrt x-1)+\sqrt{x}(\sqrt x-1)-1\cdot(\sqrt x-1)$$$$0=(x+\sqrt x-1)(\sqrt x-1)$$Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Aus der zweiten Klammer folgt daher sofort $x_1=1$ als Nullstelle. Bei der ersten Klammer hilft die pq-Formel:$$x+\sqrt x-1=0\implies(\sqrt x)^2+\sqrt x-1=0\stackrel{\text{(pq-Formel)}}{\implies}\sqrt x=-\frac12\pm\sqrt{\frac14+1}$$Wegen $x\ge0$ kommt nur der Wert $\sqrt x=-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}$ in Betracht, sodass:$$x_2=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{5-2\sqrt5+1}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}$$

Es gibt also zwei Kandidaten für Extremwerte:$\quad x_1=1\;;\;x_2=\frac{3-\sqrt5}{2}$

Wir prüfen die Kandidaten nun mittels der zweiten Ableitung:$$f''(x)=\frac12-\frac{1}{4x^{3/2}}\quad\implies$$$$f''(x_1=1)=\frac14>0\implies\text{Minimum bei }\left(1\bigg|\frac14\right)$$$$f''\left(x_2=\frac{3-\sqrt5}{2}\right)=-\frac{\sqrt5}{4}<0\implies\text{Maximum bei }\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\bigg|\frac{5\sqrt5-9}{8}\right)$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = √(x)-x+x²/4P(1|1/4)P((3-√(5))/2|(5·√(5)-9)/8)Zoom: x(0…2) y(0…0,5)

Comments

$0=1-2\sqrt x+x\sqrt x=x\sqrt x\,\underbrace{-\,x+x}_{=0}\,\underbrace{-\,\sqrt x-\sqrt x}_{=-2\sqrt x}+1$

Wie kommst Du auf diese Ergänzung??

wäre es hier nicht wahrscheinlicher, dass man 'sieht', dass die Gleichung erfüllt ist, wenn $\sqrt x =1$ ist? Tipp: die Summe der Koeffizienten ist $=0$. Und anschließend Polynomdivision durch $(\sqrt x - 1)$.

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Hmm, ich habe auch gesehen, dass $\sqrt{x}=1$, die Gleichung erfüllt. Deswegen habe ich $(\sqrt x-1)$ aufgeklammert. Man könnte auch eine Polynomdivision durchführen, ich fand die Ergänzung aber einfacher.

Answer 2

1 + x = 4*sqrt(x)    auf beiden Seiten quadrieren

Dabei binomische Formel beachten

1 + 2x + x^(2) = 16x

Allerdings sieht es bei mir anders aus:

(1/(2*sqrt(x)) - 1 + (1/2)x = 0 

==>  (1/(2*sqrt(x))   =    1 - (1/2)x   quadrieren

         1/(4x)  =   1 - x + (1/4)x²    | *4x

             1 = 4x - 4x² +  x³

         0 = x³ - 4x² + 4x - 1

Eine Nullstelle ist offenbar x=1, also

Polynomdivision durch x-1 und den

Restterm mit pq-Formel.

Answer 3

f(x) = √x - x + 1/4·x²

f'(x) = 1/(2·√x) - 1 + x/2 = (x^(3/2) - 2·√x + 1)/(2·√x) = 0

x^(3/2) - 2·√x + 1 = 0

Subst. √x = z

z³ - 2·z + 1 = 0 --> z = 1 ∨ z = - 1/2 ± √5/2

Resubst.

x = 1
x = 3/2 - √5/2
x = 3/2 + √5/2 (Probe ergibt keine Lösung)

Answer 4

1 + x = 4*sqrt(x)    auf beiden Seiten quadrieren

Musst du nicht. Substituiere sqrt(x)=z (womit dann auch x=z² gilt) und löse die quadratische Gleichung

1+z²=4z.