Beweisen Sie diese Ungleichung (vollständige Induktion)? (n+1)^{2n+1} < n^n (n+2)^{n+1}

Question

(n+1)²ⁿ⁺¹  < nⁿ (n+2)ⁿ⁺¹

Ich komme bis zum Induktionsschritt.

Ich muss ja dann zeigen, wenn n -------->n+1

(n+2)²ⁿ⁺³ < (n+1)ⁿ⁺¹ *(n+3)ⁿ⁺³

habs jetzt schonmal vereinfacht...

das ich durch die Potenzgesetze den Exponenten auseinanderziehen kann ist klar, doch wie bekomme ich in die gleiche Basis wie in meiner Voraussetzung?

Comments

(n+2)²ⁿ⁺³ < (n+1)ⁿ⁺¹ *(n+3)ⁿ⁺² Beachte die letzte 2^.

Answer 1

Du kannst doch die Ungleichung erst mal etwas äquivalent umformen:

(n+1)²ⁿ⁺¹  < nⁿ (n+2)ⁿ⁺¹  

<=>  (n+1)ⁿ * (n+1)ⁿ⁺¹  < nⁿ (n+2)ⁿ⁺¹  

<=>  (n+1)ⁿ   /  nⁿ   <   (n+2)ⁿ⁺¹    /   (n+1)ⁿ⁺¹  

<=>  (1 + 1/n  )ⁿ     <   (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹   

Das ist die streng monoton steigende Folge mit dem GW e.

Comments

Uns was sagt mit das jetzt? Muss ich die Umformung dann mit Induktion beweisen?

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Die Äquivalentumformungen wurden ja durch

die einschlägigen Rechenregeln durchgeführt.

Also kannst du statt

(n+1)²ⁿ⁺¹  < nⁿ (n+2)ⁿ⁺¹   

auch die äquivalente Ungleichung

(1 + 1/n  )ⁿ     <   (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹   

beweisen.  Letztere ist aber üblicherweise

nicht mehr zu beweisen, weil das eine bekannte

Eigenschaft der Folge  (1 + 1/n  )ⁿ    ist.

Und wenn ihr das nie bewiesen habt, dann beweist du das

mit vollst. Induktion. Dabei ist der Indschritt etwa so

  (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹   

= ((n+2)/(n+1))ⁿ⁺¹ 

<  ((n+3)/(n+2))ⁿ⁺¹ 

= ( 1+ 1 / (n+2) )ⁿ⁺¹ 

<   ( 1+ 1 / (n+2) )ⁿ⁺¹  *  ( 1+ 1 / (n+2) )
 
=  ( 1+ 1 / (n+2) )ⁿ⁺² 

Bingo!