Berechnen Sie den Flächeninhalt des endlichen Flächenstücks

Question

Die Parabel p : y = 1 x2 + b enthält den Punkt P(2|1). Die Gerade g[A, P], enthält die 2

Punkte P und A (−2| − 1). Berechnen Sie den Flächeninhalt des endlichen Flächenstücks, das die Gerade g[A, P] und die Parabel p einschließen. Fertigen Sie eine Skizze an! 

Answer 1

y = 1 x² + b enthält den Punkt P(2|1). Dann ist 1=4+b und b=-3 und die Parabelgleichung lautet y=x²-3.

Die Gerade g[A, P], enthält die 2 Punkte P und A (−2| − 1).Zwei-Punkte-Form oder y=mx+c führt zu y=x/2.

Schnittpunkte von Parabel und Gerade mittels Gleichsetzen: x²-3=x/2 Eine Lösung der quadratischen Gleichung x²-x/2-3=0 ist bekannt x=2. Dann ist (x²-x/2-3):(x-2)=(x+3/2) und x=-3/2 die andere Lösung. Zu rechnen ist noch ∫(in den Grenzen von -3/2 bis 2) (x/2-(x²-3))dx. Ergebnis (zur Kontrolle) 343/48.

Answer 2

Die Parabel p : y = 1 x2 + b enthält den Punkt P(2|1).

=>    1 = 4 + b    =>    b = -3  

Also  p:  y = x² - 3

g:     m= ( 1 - (-1) /  ( 2-(-2))   =  1/2 

Also   y = 0,5x + n

mit P gibt das    1 = 0,5*2 + n


Also n=0           g:  y = 0,5x

~plot~ x/2;x^2 - 3 ~plot~

Schnittpunkte bei x=-1,5 und x=2 . 

Also Fläche:Integral von -1,5 bis 2 über 0,5x - ( x^2 -3 )    dx   = 343/48  ca. 7,1.

Answer 3

> Die Parabel p : y = 1 x2 + b enthält den Punkt P(2|1)

Berechne b indem du P einsetzt und nach b auflöst.

> Die Gerade g[A, P], enthält die 2 Punkte P und A (−2| − 1)

Berechne m und n in der Funktionsgleichung g(x) = mx + n indem du die zwei Punkte einsetzt und das so entstandene Gleichungssystem löst.

> Berechnen Sie den Flächeninhalt des endlichen Flächenstücks, das die Gerade g[A, P] und die Parabel p einschließen.

Berechne |∫_x1..x2 g(x) - p(x) dx| wobei x₁ und x₂ die beiden Lösungen der Gleichung p(x) = g(x) sind.