Aufgabe zur Eliminationsmethode mit zwei Nebenbedingungen

Question

Hallo liebe Matheprofis;)

Ich habe hier folgende Textaufgababe und finde einfach keinen Ansatz wie ich hier mit der Eliminierung beginnen soll...

Das Start-Up Unternehmen Müsli-Mix hat eine neuartige Mischung entwickelt, die sich aus Früchten X, Körnern Y und Cornflakes Z in den in Kilogramm gegebenen Mengen x > 0, y > 0 und z > 0 zusammensetzt. Der Nährwert des Müslis lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: N = N(x, y, z) = 2xy − 60z² + 1280z. 

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode den maximalen Nährwert N unter den zwei Bedingungen, dass zum einen insgesamt 40 kg an Früchten, Körnern und Cornflakes für die Müslimischung verwendet werden und zum anderen darin die doppelte Menge Körner wie Cornflakes enthalten ist.

Die Lösung ist: 

a) N(z) = 1440z − 72z² , z = 10, y = 20, x = 10, N(10, 20, 10) = 7200

Vielen herzlichen Dank!! 

Answer 1

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode den maximalen Nährwert N unter den zwei Bedingungen, dass zum einen insgesamt 40 kg an Früchten, Körnern und Cornflakes für die Müslimischung verwendet werden und zum anderen darin die doppelte Menge Körner wie Cornflakes enthalten ist.

x+y+z=40  (alles zusammen 40kg)   und    y =2z   (doppelte Menge Körner)

Das 2. im ersten einsetzen gibt   x + 2z + z = 40

x + 3z = 40

x = 40 - 3z            und (s.0. )    y =  2z

Beides einsetzen in    N(x, y, z) = 2xy − 60z² + 1280z.   

gibt    N(z) = 1440z − 72z²  

Dann Ableitung bilden    gibt    N ' (z) = 1440 − 144z    


 Abl. 0 setzen           gibt  z = 10  einsetzen bei 

x = 40 - 3z               y =  2z      gibt den Rest.

Comments

Ich danke dir ganz herzlich! :)