f ist stetig, weil f eine Verkettung von stetigen Funktionen ist.
Die Frage ob f bei x = 0 stetig ist, stellt sich nicht, weil 0 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.
Bei der Funktion \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin{cases}\sin \frac{1}{x} & x\neq0\\0 & x=0\end{cases}\) sieht das anders aus. Die ist bei x = 0 definiert, dort nicht stetig, also insgesamt nicht stetig. Der Beweis dazu geht genau so wie dein Versuch, zu zeigen dass f nicht stetig ist.
Aus diesem Grund kannst du dir auch bei g den Teil 2.) sparen. Im Teil 1.) Ist die Formulierung "wir dürfen annehmen, dass der Sinus stetig ist" sehr unglücklich. Du darfst immer alles annehmen. Aber die Schlüsse die du aus diesen Annahmen ziehst, sind nur dann garantiert korrekt, wenn die Annahmen selbst korrekt sind. Schreibe lieber "Wie bereits gezeigt, ist sin(1/x) auf ℝ\{0} stetig".
