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ist diese Aufgabe so richtig gelöst.. ich brauche Rat.

ist diese aufgabe richtig gelöst zur stetigkeit von funktionen?

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Seien f, g : R \ {0} −→ IR die Funktionen:   f(x) = sin (1/x) , g(x) = x sin (1/x)
zeigen sie das f und g stetig sind und das lim x->0  f(x) nicht existiert.


wie zeigt man, dass f(x)= sin (1/x) und

g(x) = x sin(1/x) stetig sind?

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Eigenschaften

(Unter der Annahme, man weiss schon, dass \(x\mapsto x\) und \(x\mapsto\sin x\) stetige Funktionen sind.)

Schade, das eine passende Antwort in einen Kommentar umgewandelt wurde.

1 Antwort

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f ist stetig, weil f eine Verkettung von stetigen Funktionen ist.

Die Frage ob f bei x = 0 stetig ist, stellt sich nicht, weil 0 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.

Bei der Funktion \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin{cases}\sin \frac{1}{x} & x\neq0\\0 & x=0\end{cases}\) sieht das anders aus. Die ist bei x = 0 definiert, dort nicht stetig, also insgesamt nicht stetig. Der Beweis dazu geht genau so wie dein Versuch, zu zeigen dass f nicht stetig ist.

Aus diesem Grund kannst du dir auch bei g den Teil 2.) sparen. Im Teil 1.) Ist die Formulierung "wir dürfen annehmen, dass der Sinus stetig ist" sehr unglücklich. Du darfst immer alles annehmen. Aber die Schlüsse die du aus diesen Annahmen ziehst, sind nur dann garantiert korrekt, wenn die Annahmen selbst korrekt sind. Schreibe lieber "Wie bereits gezeigt, ist sin(1/x) auf ℝ\{0} stetig".

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Ist es also so in ordnung wie ich es aufgeschrieben habe?

Nein.

Du behauptest, f sei nicht stetig. Das ist falsch, f ist stetig.

Du behauptest, g sei bei 0 stetig. Auch das ist falsch, g ist bei 0 nicht definiert, kann also insbesondere nicht stetig sein.

kannst du mir das für f(x) aufschreiben sodass ich dann sehe wie es aufgeschrieben wird dann kann ich es für g(x) machen?

OK, hier ist es: "f ist stetig, weil f eine Verkettung von stetigen Funktionen ist".

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