Beweise, die jeder Mathematiker kennen sollte?!

Question

Es gibt mathematische Beweise, die sehr elegant sind und einen Wow-Effekt hervorrufen, sie zeigen in ihrer Einfachheit die Schönheit der Mathematik, verändern unseren Blick auf diese und erweitern unsere Erkenntnis, sie geben uns ein Licht des Wissens.

Daher würde ich gerne wissen, welche mathematischen Beweise ihr kennt, die andere Mathematiker auf jeden Fall kennen sollten, und warum.

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Das hängt davon ab, für welchen Fachbereich du dich interessierst.

In der Funktionentheorie gibt es viele schöne Aussagen und auch schöne Beweise. Den Integralsatz von Cauchy mit dem Satz von Stokes als Einzeiler zu beweisen, gefällt mir besonders gut. Ist für andere Fachbereiche aber kaum interessant.

Das übliche Beweisverfahren aus der Maß-/Integrationstheorie sollte man wohl kennen, wenn man einen ähnlichen Beweis führen möchte (die laufen fast immer gleich ab).

Aber eigentlich gibt es kaum Beweise, die wirklich jeder Mathematiker kennen sollte; da solltest du also verraten, um welches Teilgebiet es dir geht.

Answer 1

Eigentlich sollte jeder Mathematiker in der Lage sein diverse Beweise und Herleitungen zu kennen oder sich eben herzuleiten.

Soweit jemand die pq-Formel und die abc-Formel nur anwenden kann langt das zwar um die Mittelstufe zu bestehen, wer aber wirklich die Mathematik verstehen will, sollte natürlich in der Lage sein die pq und die abc-Formel sich herzuleiten bzw. zu beweisen.

Mathe - Lösungsformel für quadratische Gleichungen.pdf (77 kb)

Womit ich z.B. immer Schwierigkeiten habe, ist in der Finanzmathematik mir diverse Formeln zu merken. Entweder benutze ich dann eine Formelsammlung, weil es schnell gehen muss. Ansonsten bin ich aber in der Lage mir jede Formel auch herzuleiten.

Was speziell Beweise angeht ist es ganz nützlich diverse Beweisverfahren zu kennen und dafür auch ein Beispiel parat zu haben.

Z.B. den Beweis durch Widerspruch oder wie beweist man das Wurzel(2) nicht rational ist.

oder den Beweis über die vollständige Induktion z.B. die Summe der ersten n Quadratzahlen.

In der Schule war ich immer einer der schlechtesten Kopfrechner. Wie gesagt kann ich mir auch Formeln nicht so gut merken. Aber ich kann zum Glück mir jede Formel die ich meist brauche herleiten wenn ich sie gerade nicht im Kopf habe.

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Ideen für weitere Beweise.

Beweise das sich die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a über √3/2·a berechnen lässt.