Kleinste durch 11 teilbare Zahl mit Bedingung n ≡1 mod t für 1<t<11?

Question

Wie lautet die kleinste durch 11 teilbare natürliche Zahl n mit der Eigenschaft: n ≡1 mod t für 1<t<11?

Comments

Wegen n ≡ 1 mod 10 muss n mit der Ziffer 1 enden. Damit wird auch n ≡ 1 mod 5 und n ≡ 1 mod 2 erfüllt. So lassen sich weitere Vereinfachungen finden.

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Man kann auch anders vorgehen und untersuchen, ob \(10! +1\) noch verkleinert werden kann.

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@ gast az0815 Herzlichen Dank für deine Lösungsansätze.

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Ich komme durch derartige Überlegungen auf eine zahl, die zwischen 20000 und 30000 liegt.

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@ az0815 Als du schriebst: "Man kann auch untersuchen, ob 10!+1 noch verkleinert werden kann." hattest du die Lösung geradezu schon genannt. Denn die Annahme: Es gibt eine kleinere Zahl als 10!+1, welche durch 11 teilbar ist und auch die zweite Bedingung erfüllt, ist sehr leicht zum Widerspuch zu führen: Diese kleinere Zahl müsste ja 11·k heißen mit k<10!+1 und der Rest beim Teilen durch k wäre 0 und nicht 1. Ich merke gerade, dass das bisher kein Widerspruch ist. Aber in dieser Richtung sollte ich weiter nachdenken.

Answer 1

Die Lösung ist die kleinste durch 11 teilbare Zahl der arithmetischen Reihe $$a_n=\text{kgV}(2..10)\cdot n+1$$ Das \(\text{kgV}(2..10)=2520\) und jetzt müssen maximal 11 Zahlen geprüft werden: $$a_{10}=25201$$

Comments

Hi, das habe ich soweit auch raus. Dann habe ich mich noch gefragt, ob man nicht das Prüfen der Kandidaten auf Teilbatkeit durch 11 auch noch sparen kann. Hier hänge ich noch.

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Ja - kann man sich sparen, da \(2520 \equiv 1 \mod 11\) und \(a_0 \equiv 1 \mod 11\) ist, kommt man auf \(a_n \equiv n+1 \mod 11\). Also ist \(a_{10}\) die gesuchte Zahl.

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@ Werner Salomon: Herzlichen Dank! Starke Leistung.