Es sei p>0 der Konvergenzradius der Potenzreihe (sieh Beschreibung), Welchen Konvergenz radius haben die Reihen

Question

Es sei p>0 der Konvergenzradius der Potenzreihe $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } { z }^{ n }$$

Welchen Konvergenzradius hat die Potzenreihe

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } *n!{ z }^{ n }$$

Answer 1

Die neue Reihe hat die Koeffizienten b_n = a_n * n!  .

Wegen p>0 ist der Konv.rad, der 1. Reihe, gilt nach

der Formel von Cauchy-Hadamard

( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius)

lim sup (a_n)^1/n =  1/p

Aber  es ist  $$\lim_{n\to\infty} { (n!) }^{\frac { 1 }{ n }} = \infty$$also auch  $$\lim_{n\to\infty} { b}_{n } = \infty$$also Konvergenzradius der neuen Reihe 0.