Weisen Sie nach, dass es sich bei Z/7Z* mit der Multiplikation um eine zyklische Gruppe handelt

Question

Welches ist das erzeugende Element?

Nennen Sie Gruppeneigenschaften.

Beh.: (Z/7Z,/) ist mit Multiplikation eine zyklische Gruppe.

Vor.: Z/7Z = ( 0,1,2,3,4,5,6) Verknüpfung ist Mal

Bew.:

*	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2

6

0

6

5

4

3

2

1

Abgeschlossenheit ist gegeben.

Neutrales Element ist die 1.

Inverse Elemente: 1 zu 1, 2 zu 4, 3 zu 5, 4 zu 2, 5 zu 3, 6 zu 6 aber 0 hat keins.

Also ist Z/7Z,* bezüglich der Multiplikation keine Gruppe.

Richtig?

Answer 1

Ich denke mal, dass der * bei Z/7Z*  sagen soll:  alle ohne 0.

Dann ist es doch eine Gruppe und wird z.B. von dem Element 3

erzeugt; denn 3¹ = 3
3² = 2
3³ = 6
3⁴ = 4
3⁵ = 5
3⁶ = 1

Comments

ah ok, ja dann hast du wohl recht, vielen Dank

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Nochmal zu dem erzeugenden Element, bitte. Sind denn nicht alle Zahlen erzeugende Elemente?

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Nicht alle.  6 z.B. nicht, denn

6¹ =6   6²=1  6³ =6   6⁴=1  

6 erzeugt also nur  eine Untergruppe .

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ah ok, dann ist 1 auch keins, weil Potenzen von 1 immer nur 1 ergeben.

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Exakt so ist es.

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juhu, ein Erfolgserlebnis

Lieben Dank

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Noch eine Frage.

Kann man generell sagen, dass das neutrale Element bei der Addition immer die 0, bei Multiplikation immer die 1 ist?

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Häufig sind aber die Verknüpfungen in einer

gruppe ganz andere Sachen, etwa die

Hintereinaderausführung von Abbildungen.

Was soll da 0 oder 1 sein?

Das neutrale El. ist dort die

identische Abbildung.