Volumen der Halbkugel B^3(0,R) ∩ IR^3_(+)

Question

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Erstmal die Aufgabenstellung:

Berechnen Sie für R>0 das Volumen der Halbkugel B³(0,R) ∩ IR³₊

mit IR³₊ := {(x₁,x₂,x₃)^T ∈IR³ : x₃ > 0}

Also soll ich ja das Volumen einer Halbkugel mit beliebigem Radius bestimmen.

Ich wollte als erstes die Halbkugel als Menge zwischen einem Graphen und der Ebene x₃=0 darstellen um dann mithilfe der Integralrechnung das Volumen unterhalb des Graphen zu bestimmen.

Kann mir jemand helfen, eine geeignete Funktion f zu finden um den Graphen darzustellen?

Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir hier jemand weiter helfen könnte! :)

LG!

Answer 1

Das Volumen einer Vollkugel kann berechnet werden, wenn man die Funktion \( f(x) = \sqrt{R^2 -x^2} \) um die x-Achse rotieren lässt. Dann folgt
$$ V = \pi \int_{-R}^R f(x)^2 dx = \pi \int_{-R}^R (R^2 -x^2) dx = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

Die Halbkugel ist also die Hälfte.