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Erstmal die Aufgabenstellung:

Berechnen Sie für R>0 das Volumen der Halbkugel B3(0,R) ∩ IR3+

mit IR3+ := {(x1,x2,x3)T ∈IR3 : x3 > 0}


Also soll ich ja das Volumen einer Halbkugel mit beliebigem Radius bestimmen.

Ich wollte als erstes die Halbkugel als Menge zwischen einem Graphen und der Ebene x3=0 darstellen um dann mithilfe der Integralrechnung das Volumen unterhalb des Graphen zu bestimmen.

Kann mir jemand helfen, eine geeignete Funktion f zu finden um den Graphen darzustellen?

Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir hier jemand weiter helfen könnte! :)

LG!

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Das Volumen einer Vollkugel kann berechnet werden, wenn man die Funktion \( f(x) = \sqrt{R^2 -x^2} \) um die x-Achse rotieren lässt. Dann folgt
$$ V = \pi \int_{-R}^R f(x)^2 dx = \pi \int_{-R}^R (R^2 -x^2) dx = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

Die Halbkugel ist also die Hälfte.

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