Berechne die Lage des Massenmittelpunktes ( M M P ) einer Halbkugel mit dem Radius R=42 und einer konstanten Dichte.

Question

Aufgabe:

Berechne die Lage des Massenmittelpunktes ( \( M M P \) ) einer Halbkugel mit dem Radius \( R=42 \) und einer konstanten Dichte. Lege die \( z \)-Achse des Koordinatensystems nach oben, wenn die Halbkugel auf der flachen Seite liegt. Verwende Kugelkoordinaten! Die Dichtefunktion beträgt \( \rho(\vec{r})=\left\{\begin{array}{l}1 \text { in der Halbkugel } \\ 0 \text { außerhalb }\end{array}\right. \)
Für ein kontinuierliches Volumen \( \Omega \) kann der \( M M P \) wie folgt berechnet werden:
\(M \vec{M} P=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} \vec{r} \rho(\vec{r}) d V\)
wobei \( \vec{r} \) der Ortsvektor ist.
Hinweis: Der Massenmittelpunkt ist ein Vektor, d.h. das obige Integral besitzt eine separate \( x-, y \) - und \( z \)-Komponente. Wie lauten die \( x \) - und \( y \) - Komponenten des Massenmittelpunktes basierend auf Symmetrieüberlegungen ( \( M M P_{x} \) und \( M M P_{y} \) )?
Bestimme zuerst (z.B. mit Hilfe einer Skizze) die Integrationsgrenzen in Kugelkoordinaten von \( r, \phi \) und \( \theta \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, dass der Schwerpunkt in auf der z-Achse liegen sollte. Wie müsste ich dann weitermachen?

Mit freundlichen Grüßen Simplex

Answer 1

Aloha :)

Deine bisherige Überlegung ist richtig, wegen der Symmetrie der Halbkugel muss der Schwerpunkt auf der \(z\)-Achse liegen. Daher kennen wir bereits zwei Koordinaten des Schwerpunktes, mämlich \(x_S=0\) und \(y_S=0\). Für die \(z\)-Komponente müssen wir folgendes Integral berechnen:$$z_S=\frac1M\int\limits_Vz\cdot\rho(\vec r)\,dV$$Weil die Dichte \(\rho=1\) innerhalb der Halbkugel homogen verteilt ist, können wir ihre Masse direkt angeben:$$M=\rho\cdot V_{\text{Halbkugel}}=1\cdot\frac12\cdot\frac43\pi R^3=\frac23\pi R^3$$Das Integral bestimmen wir mit Hilfe von Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]$$Beachte, dass die Grenzen des Winkels \(\vartheta\) so gewählt wurden, dass nur die obere Hälfte des Kugelvolumens abgetastet wird. \((z=r\cos\vartheta\ge0)\)

Wir setzen nun \(z=r\cos\vartheta\), das Volumenelement \(dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\) und die oben bestimmte Masse \(M\) in das Integral ein:$$z_S=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\int\limits_{r=0}^{42}\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}r\cos\vartheta\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{z_S}=\frac{3}{2\pi R^3}\int\limits_{r=0}^{R}r^3\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{z_S}=\frac{3}{2\pi R^3}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^{R}\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\left[\frac12\sin^2\vartheta\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}$$$$\phantom{z_S}=\frac{3}{2\pi R^3}\cdot\frac{R^4}{4}\cdot2\pi\cdot\frac12=\frac38R\stackrel{(R=42)}{=}15,75$$Der Schwerpunkt liegt also bei:\(\quad S(0|0|15,75)\)