Aufgabe:
Berechnen Sie die Exponentialmatrix e^{A}, definiert als e ^ { A } : = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } A ^ { n } für die quadratische Matrix A = \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { - 3 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right)
Mit den normierten Eugenvektoren v _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 10 } } \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { - 1 } \end{array} \right) und v _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) zu den jeweiligen Eigenwerte A _ { 1 } = 3 und A _ {-1}. Gehen sie dabei folgendermaßen vor:
a) zeigen sie mit Hilfe der Identität ( B D B ^ { - 1 } ) ^ { n } = B D ^ { n } B ^ { - 1 } allgemein die Gültigkeit der Formel e ^ { M } = B e ^ { D } B ^ { - 1 } für eine beliebige diagonalisierbare Matrix M = B D B ^ { - 1 }.
b) weisen sie nun nach, dass die gegebene Matrix A diagonalisierbar ist, indem sie A in der Form A = B D B ^ { - 1 } schreiben und berechnen sie anschließend e^{A) explizit.
c) zeigen sie für das hier betrachte Beispiel, dass \operatorname { d e t } ( e ^ { A } ) = e ^ { \operatorname { S p } A } gilt.
Problem/Ansatz:
Guten Morgen, kann mir jemand hier bei den Aufgaben helfen? Vorallem bei der a) verstehe ich nicht so ganz, was zu tun ist
