Zeigen Sie Linearität der gegebenen Abbildungen: f_2 : ℝ^3 → ℝ, f_2(x,y,z) = -3x+y+5z

Question

Hi ich hab mal eine Frage zu folgender Aufgabe:

f₂ : ℝ³ → ℝ, f₂(x,y,z) = -3x+y+5z

Um die Linearität zu zeigen muss ich nun zeigen, dass f(x+y) = f(x) + f(y) und das f(λx) = λf(x)

Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich das praktisch umsetze.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Comments

"dass f(x+y) = f(x) + f(y) und das f(λx) = λf(x)

Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich das praktisch umsetze."

Benenne die Variabeln anders: u und v seien 2 beliebige Vektoren in R^3.

" dass f(u+v) = f(u) + f(v) und das f(λu) = λf(u)"

Wenn nötig nun noch die Komponenten mit Variabeln versehen. Z.B. so:

u = (a,b,c) und v= (d,e,f)

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Ok, vielen Dank erstmal!

Wie sieht denn dann der nächste Schritt aus?

Ich hab jetzt f(a+d,b+e,c+f) = f(a,b,c) + f(d,e,f)

Wie forme ich das jetzt entsprechend um und wie bekomme ich -3x+y+5z da mit rein?

Dankeee!

Answer 1

ch hab jetzt Behauptung: f(a+d,b+e,c+f) = f(a,b,c) + f(d,e,f)

Wie forme ich das jetzt entsprechend um und wie bekomme ich -3x+y+5z da mit rein?

Beweis: f(a+d,b+e,c+f)

= -3(a+d) + (b+e) + 5(c+f))

...... Rechenregeln in R benutzen mit Ziel

= (-3a + b + 5c) + (-3d + e + 5d)

= f(a,b,c) + f(d,e,f)

Comments

also dann:

(-3a) + (- 3d) + b + e + 5c + 5f = (-3a + b + 5c) + (-3d + e + 5f) = f(a,b,c) + f(d,e,f)

oder geht das nicht so einfach?

Für die Sache mit dem λ sähe das dann so aus?:

Behauptung: f(λ(a,b,c)) = λf(a,b,c)

Beweis: f(λ(a,b,c)) = λ(-3a + b + 5c) = (-3aλ) + bλ + 5cλ = λf(a,b,c)

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Gut so! Das ist so fertig.

Schreibe neben deine Schritte jeweils "Klammer auflösen", "ausklammern", "Summanden vertauschen".... "weil in R erlaubt". Du kannst auch die passenden Fachausdrücke "Addition in R ist kommutativ" (oder so)