Erweiterte 3x3 Matrix im Körper F3 = Z / 3Z. Lösungsmenge bestimmen

Question

Aufgabe (LGS in Quotientengruppe):

Ich habe eine erweiterte 3x3 Matrix im Körper F3 = Z / 3Z und soll die Lösungsmenge bestimmen.

Die Matrix lautet:

1  0  2  I  1

1  2  2  I  2

0  1  0  I  2

Wie unterscheidet sich die Vorgehensweise nun von einer erweiterten Matrix in R? :/ 

Mir fehlt ein Ansatz.

Answer 1

zunächst einmal gar nicht. Löse wie normal.

Berücksichtige bei Deinen Rechnungen aber, dass 0 = 3 = 6 = ... und 1 = 4 = 7 usw. in Z/3Z.

Grüße,

M.B.

Comments

Dann ist der erste Schritt ja leichter als gedacht, sehr gut.

Habe jetzt soweit gerechnet dass meine Matrix die Form hat:

x  y  z

1  0  2 I 1

0  1  0 I 2

0  0  0 I 0

Folglich ist 1y = 2 (bzw. 4y usw..)

bei der ersten Zeile habe ich jetzt aber ja noch 1x + 2z = 1.

Also gibt es unendlich viele Lösungen wobei gilt:

(1+3Z)*y = (2+3Z)

und

(1+3Z)*x + (2+3Z)*z = (1+3Z)

Sehe ich das richtig? :)

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noch ein Hinweis: In \( \Bbb Z/n\Bbb Z \) darfst Du nicht dividieren, da Division definiert ist, als Multiplikation mit dem Inversen, und das Inverse ist hier oft anders, als Du es gewohnt bist.

Die Matrix hat den Rang 2, damit hast Du unendlich viele Lösungen.

$$ L = \begin{aligned} 1\cr 2\cr 0\cr \end{aligned} +k \cdot \begin{aligned} 1\cr 0\cr 1\cr \end{aligned} $$

Du hast Deine 3 als Faktor nicht berücksichtigt.

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Alles klar ! :)