Körper F3 = Z/3Z und Matrizen

Question

Im Folgenden arbeiten wir über dem Körper F3 = Z/3Z.

(a) Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem mit der folgenden erweiterten Matrix? 

1 0 2   I  1              (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2

0 1 0   I  2

Listen Sie alle Lösungen auf. 

(b) Im Allgemeinen: Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem über  F3 mit drei Gleichungen und drei Variablen haben? Begründen Sie.

Answer 1

a) aus der dritten Zeile ergibt sich doch

1*y = 2.

D.h. y = 2

(überall Strich drüber).

Nun kannst du damit in die ersten beiden Gleichungen rein

Übrigens:

1 0 2   I  1        (I)      (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2       (II)

--------------------- (II) -(I)

0 2 0 | 1

widerspricht y=2 nicht, denn

2*2 = 1 (alles mit Strich oben) (modulo 3) , sagt dir aber, dass es mehrere Lösungen geben wird.

Die könnte man jetzt austesten.

x= 0 und z=2

x=1 und z=?

x=2 und z=?

Comments

kannst du vlt. noch mit b) helfen?

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Bei b) würde ich sagen 3^3 = 27.

Als Beispiel dafür fällt mir aber nur das LGS

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

ein. Da liessen sich dann in den Lösungsvektoren alle x mit allen y und dann noch mit allen z kombinieren. x, y und z gibt es jeweils nur 3 , weil modulo gerechnet wird.

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Wie viele Lösungen gibt es denn jetzt bei a)?

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Wie komme ich denn nach dem Umformen rechnerisch an die Lösungsmenge ran ?

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könntest du mir vielleicht erklären was es sich genau bei dem Modulo auf sich hat in der Matrix ? Was genau muss ich mit dem Modulo beachten? Ich kenne zwar modulo aber in der matrix kann ich grade nur sehr wenig damit anfangen...lg

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Ich habe dir oben ein Resultat (x,y,z) = (0,2,2) ausgerechnet.

Jetzt einfach noch machen, was ich vorgeschlagen hatte.

"Die könnte man jetzt austesten.

x= 0 und z=2   Geprüft mit (I) 1*x + 2*z = 1, 1*0 +2*2 = 1 (mod 3)

x=1 und z=?  Hier suchst du z in: 1*1 + 2*z = 1,

x=2 und z=?" Hier suchst du z in: 1*2 + 2*z = 1

Das schaffst du doch. Dann hast du drei Lösungstripel. 

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Also wenn ich versuche x,y und z auszurechnen kriege ich für x oder z keine lösung raus....was habe ich falsch gemacht ?

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Die zweite Zeile kannst du ignorieren.

Ich habe sie ja zu Beginn durch die blaue Zeile hier ersetzt.

1 0 2   I  1        (I)      (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2       (II)

--------------------- (II) -(I)

0 2 0 | 1    

und oben festgestellt, dass das wieder das gleiche ist wie die 3. Zeile, nämlich y=2. 

Daher nachher nur noch die erste Zeile nötig und für x alle möglichen Werte einsetzen.

In R wäre das der Fall, in dem es unendlich viele Lösungen gibt. Modulo drei sind das nicht so viele und du kannst alle explizit ausrechnen. Vgl. oben. 

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Habe es ausgerechnet wären dann die Lösungs mengen (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) ?

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Du hast richtig gerechnet. Rechne noch modulo 3.

Die Lösungsmenge ist L= { (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) } =  { (0,2,2) ; (1,2,0) ; (2,2,3) } 

Achtung: Du hast EINE Lösungsmenge L, die drei Elemente enthält. Diese Elemente sind Zahlentripel, du kannst sich auch als Vektoren ansehen. 

x= 0 und z=2   Geprüft mit (I) 1*x + 2*z = 1, 1*0 +2*2 = 1 (mod 3) 

x=1 und z=?  Hier suchst du z in: 1*1 + 2*z = 1,  ==> z=0 . 1*1 + 2*0 = 1

x=2 und z=?" Hier suchst du z in: 1*2 + 2*z = 1 ==> z=1 . 1*2 + 2*1 = 1  

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"Die Lösungsmenge ist L= { (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) } =  { (0,2,2) ; (1,2,0) ; (2,2,3) }"

Also ist das die endgültige Lösung ?

Oder suchst du zeilen dadrunter noch nach mehr Lösungsmengen ?

Und wie bist du jetzt hinter der Lösung nach dem gleich gekommen in der Lösungsmenge L ?

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Wenn du modulo drei rechnen musst, schreibst du ja Überall Querstriche drüber. Und da ist 3 dasselbe wie 0, bzw. 4 dasselbe wie 1.

Gleichungssysteme haben EINE Lösungsmenge und die besteht aus bei einer 3x3-Matrix aus Vektoren mit 3 Komponenten.

a) ist somit erledigt.

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Vielen Dank, hast mir ziemlich weitergeholfen :)