Gleichungssystem über dem Körper Z/3Z

Question

Aufgabe:

Ich soll ein Gleichungssystem über dem Körper Z/3Z lösen.

Habe die Gleichung bereits in Zeilenstufenform gebracht. Also gehen wir von dieser Matrix aus:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  1  2  2  |  0

Problem/Ansatz:

Wie gesagt, Zeilenstufenform erledigt.
Ich bin vertraut mit den Voraussetzungen in Z/3Z, so gilt z.B 2=-1, 3=0 etc.

Wie kommt man nun auf die Lösungsmenge?

,

LG

Answer 1

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  1  2  2  |  0
offenbar kann man x4=s und x5=t frei wählen und hat dann

x3 +2s + 2t = 0 ==>  x3 = -2s-2t

damit in die vorletzte:

x2 +2( -2s-2t ) + s + t = 2 ==>   x2 = 3s + 3t + 2

und alles in die erste gibt wohl

(rechne besser mal nach)

 x1 = -4s-5t-3      Also sehen alle Lösungen so aus:

x = (  -4s-5t-3 ; 3s + 3t + 2  ;-2s-2t ; s ; t )

  = (-3;2;0;0;0) + s*(-4;3;-2;1;0) + t*(-5; 3 ; -2 ;0;1)

also L ein 2-dim affiner Unterraum von  ( Z/3Z )^5 .

Und wegen Z/3Z   ist das gleich

(0;2;0;0;0) + s*(2;0;1;1;0) + t*(1; 0 ; 1 ;0;1)

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Mit welcher Begründung kann gesagt werden, dass x4 und x5 frei wählbar sind?

weil gilt: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 und 2+2= 0?

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Nein, weil bei 3 linear unabhängigen Gleichung

mit 5 Variablen dies immer so ist, egal über welchem

Körper das betrachtet wird.

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Okay.

Sind es auch immer die letzten beiden Variablen, welche frei gewählt werden dürfen?

Sprich, immer x4 und x5, oder kann es auch x1 und x2 sein?

LG

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Kommt drauf an, wie die Stufenform aussieht.

Wäre es etwa so rausgekommen:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  0  1  2  |  0

Dann könntest du x5 und x3 frei wählen.

oder so:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  0  0  1  |  4

Dann wäre ja x5=4 und beim weiteren

rückwärts auflösen gäbe es erst wieder eine

Gleichung für x2, also wäre x3 und x4 frei

wählbar.

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Okay, hast du einfach so ein geschultes Auge, dass dir direkt klar ist, welche die freien Variablen sind? ^^

weil in deinem ersten Bsp ist x3 ja nicht gleich x5.. oder? :D

Sry, dass ich es nicht sofort kapiere ^^

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habs verstanden, wenn man weiterrechnet, ergibt es sich.

Eine Sache verstehe ich aber immer noch nicht:

Du sagst: x3 +2s + 2t = 0 ==>  x3 = -2s-2t= s+t

wieso ist -2s-2t = s+t??

da komme ich nicht dahinter.

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-2s-2t=s+t?

hm..

Wenn möglich, bitte erklären! :)

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Kann ich auch nicht erklären, weil es halt falsch war.

Korrigiere ich oben.

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In Z/3Z gilt doch -2 = -2 + 3 = 1

Also auch -2s-2t =s+t.

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Hast recht, war ja doch alles richtig, ich hatte bei meiner

"Korrektur" nicht die ganze Aufgabe nochmal gelesen.