Zeigen Sie, dass auch {A · b1 , A · b2 } eine Orthonormalbasis des ℝ^2 ist..

Question

Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und stehe auf dem Schlauch, ich komme einfach nicht auf einen Ansatz, wie ich das zeigen soll...

Aufgabe:

         Es sei A ∈ ℝ2x2  eine orthogonale Matrix und {b1,b2} eine Orthonormalbasis des R2. 

          Zeigen Sie, dass auch {A · b1 , A · b2 } eine Orthonormalbasis des R2 ist. 

Answer 1

Hi,

Orthogonalität

$$ (1) \quad <Ab_1 , Ab_2> = <b_1 , A^TAb_2> =<b_1,b_2>=0   $$

Normiertheit

$$  (2) \quad <Ab_i,Ab_i> = <b_i,A^TAb_i> = <b_i,b_i>=1 $$

Lineareunabhängigkeit

$$  (3) \quad 0 = \lambda_1 A b_i  + \lambda_1 A b_i  = A ( \lambda_1 b_i  + \lambda_1 b_i  )  \Rightarrow \lambda_i = 0 $$