Question

Sei V ein R-Vektorraum und sei B := (v₁, v₂) eine Basis von V .

(a) Seien v '₁ , v' ₂ ∈ V gegeben durch _B [v'₁ ] = (1 1) und _B [v' ₂ ] = (1 −1) . Zeigen Sie, dass B ' := (v '₁ , v'₂ ) auch eine Basis von V ist.

(b) Sei v ∈ V gegeben durch _B' [v] = (3 5) . Drücken Sie  v in der Basis B aus, d. h. bestimmen Sie _B [v].

(c) Sei w ∈ V gegeben durch _B [w] = (3 1 ) . Drücken Sie w in der Basis B' aus, d. h. bestimmen Sie _B'[w].

(d) Sei f : V → V die lineare Abbildung, die gegeben ist durch _B [f]_B = (3 4

                                                                                                               0 0 ) . Bestimmen Sie _B' [f]_B' . 

Answer 1

Seien v '₁ , v' ₂ ∈ V gegeben durch _B [v'₁ ] = (1 1) und _B [v' ₂ ] = (1 −1) .
Zeigen Sie, dass B ' := (v '₁ , v'₂ ) auch eine Basis von V ist.

Soll das heißen  v1 ' =  1*v1  +  1*v2    und   v2 ' = 1 * v1  -1 * v2  ???

B := (v₁, v₂) eine Basis von V  heißt   dim(V) = 2 , also je 2

lin. unabhängige bilden eine Basis.

Dann ist es einfach ; denn v1 ' und v2 ' sind lin. unabh. weil 

x * v1 ' + y * v2 ' = 0-Vektor  heißt 

x*(1*v1  +  1*v2)   + y * (1 * v1  -1 * v2  ) =  0-Vektor 

< == >  ( x + y) * v1  +  ( x - y) * v2 =   0-Vektor 
 

und weil v1 , v2 lin. unabh. sind, muss dann

x+y = 0          und  x - y = 0   gelten

also x =0 und y = 0  .

Damit  sind v1 ' und v2 ' sind lin. unabh.  und weil es

2 Stück sind, bilden sie eine Basis von V.

Comments

Kann einer bitte noch bei b-d helfen :)

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_B' [v] = (3 5)    Ich komme mit euren Bezeichnungen nicht gut klar.

Soll wohl heißen:  3 und 5 sind die Koordinaten von v bzgl der

Basis B '  ???

Dann hieße das

v = 3*v1' + 5*v2'    und dann wieder einsetzen

v = 3* (1*v1  +  1*v2) )  + 5 * (1 * v1   -1 * v2  )    

und nach v1 v2 sortieren.

Bei c ) wäre es dann:

w = 3 *v1  +  1*  v2  und dann 

v1' =  1*v1  +  1*v2 und  v2 ' = 1 * v1   -1 * v2 so umstellen, das 

v1 = ................    und v2 = ..................  entsteht.

Und das dann bei # einsetzen und nach v1' und v2 ' sortieren.

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Wie meinst du nach v1' und v2 ' sortieren?

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Und könntest du mir vielleicht auch noch bei d helfen?

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f(Wie meinst du nach v1' und v2 ' sortieren?

In der Form x * v1 '  +  y* v2 '  schreiben.

Dann ist  _B'[w]  =  ( x  y )  .

d) Da gibt es 2 Möglichkeiten. Wenn ihr schon was über die

Matrix einer Koordinatentransformation kennt, nimmst du diese

sagen wir mal T und rechnest  T-¹ * A * T ,  wenn A die

angegebene Matrix ist.

Anderenfalls kennst du vielleicht die Aussage:

In der Matrix   _B' [f]_B'  stehen in der 1. Spalte die Koordinaten


des Bildes des 1. Basisvektors von B' , die bei der Darstellung

mit B' gebraucht werden.  Also :  Der 1. von B ' ist 

v1 ' =  1*v1  +  1*v2      dessen Bild ist wegen der Linearität

f ( v1 ' ) =   1*f(v1) + 1*f(v2)und f(v1) ist wegen der gegebenen Matrix A also dann

A *  1       =      7
       1               0 

Dabei ist jetzt aber   7  0   wieder auf die Basis B bezogen.

Das musst du dann wie in Teil c wieder in B ' Koordinaten

umrechnen. Dann hast du die erste Spalte der Matrix.

Mit dem 2. Basisvektor von B ' bekommst du entsprechend

die 2. Spalte.

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Sitze auch gerade an der Aufgabe und komme bei d nicht weiter. Stehe wohl ein bisschen auf der langen Leitung...aber wie kommst du auf 7 0?

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Matrix * Vektor geht doch immer Zeiel * Spalte

hier also   für die obere Zahl

3  4   *      1            = 3*1 + 4*1
                 1und für die zweite


3  4   *      0            = 3*0 + 4*0
                 0

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Also so genau habe ich es nach v1 und v2 sortieren immer noch nicht verstanden für die Aufgabe b und c. Könntest du es vielleicht nochmal für Doofe erklären ? xd

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(3 4 )        *         1       =          7
( 0 0 )                 1                    0

besser ?

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Nein nicht wirklich...

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Was ich nicht wirklich verstehe ist was beim sortieren nach v1 und v2 geschieht

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b)     v = 3* (1*v1  +  1*v2) )  + 5 * (1 * v1   -1 * v2  )    

und nach v1 v2 sortieren.

=    3*v1  +  3*v2  + 5* v1   -5 * v2  


= 8 v1   - 2 v2    (Jetzt ist es nach v1  v2  sortiert)

 
Also   _B[v]  = ( 8  -2 ) .

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Okay das war damit gemeint. VIelen Dank :)

und die C funktioniert dann genau so, oder muss ich da was bestimmtes beachten ?

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Wie oben gesagt:

Bei c ) wäre es dann:

w = 3 *v1  +  1*  v2  und dann 

v1' =  1*v1  +  1*v2 und  v2 ' = 1 * v1   -1 * v2 so umstellen, das 

v1 = ................    und v2 = ..................  entsteht.

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Habe es mal versucht und habe w = 4v1 + 2v2 rausbekommen

ist das so richtig ?