2e^{√x} = x^2 +2 . Lösung im Intervall [33,55]?

Question

Aufgabe:

\(2e^{\sqrt{x}} = x^{2} + 2  \)

2e^{√x} = x^2 + 2. Lösung im Intervall [33,55]?

Gibt es Lösungen in R? Gibt es auch Lösungen im Intervall [36,55]? Begrüunden Sie Ihre Antworten.

Wie sollte man dabei nun vorgehen, da ich das Newton Verfahren etc nicht kenne

Ansatz:

Könnte mir wer helfen die Gleichung aus der Überschrift zu lösen, am besten Schritt für Schritt. Komme leider grade nicht auf die Lösung. Danke :)

2e^ (wurzel(x)) = x^2 +2 Lösung im Intervall [33,55] ?

$$ 2e^{\sqrt{x}} = x^{2} + 2  $$

Comments

könnte jemand mir zeigen, wie man a), e) b) und c) löst danke

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Das Intervall kenne ich. Hast du das gestern nicht schon mal gefragt? 

Wenn nicht du, dann jemand anders. Schau mal bei den Fragen von gestern. 

EDIT: c) war hier: https://www.mathelounge.de/414089/2e-wurzel-x-x-2-2-losung-im-intervall-33-55 

Bei den andern sollst du wohl auch mit Sätzen zur Stetigkeit argumentieren. 

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c) habe ich gestern schon einmal beantwortet :

https://www.mathelounge.de/414089/2e-wurzel-x-x-2-2-losung-im-intervall-33-55

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wie löst man b)

Mach es gleich wie c)

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also bei a, b, c braucht man den Zwischenwertsatz. d und e kann man doch auch ohne Satz lösen?

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Richtig. Das kannst du ja mal machen. Wenn du unsicher bist, kannst du deine Rechnungen zur Kontrolle gern noch anfügen im nächsten Kommentar. 

Answer 1

2·e^√x  =  x² + 2

Die gesuchte Gleichung hat offensichtlich die Lösung x=0

Alle Lösungen der Gleichung sind Nullstellen der Funktion   f(x) = 2·e^√x  -  (x² + 2)  

Für diese erhält man beim Einsetzen für x=33  einen negativen, für x=55 einen positiven Funktionswert.

Da f stetig ist, hat sie also nach dem Zwischenwertsatz im  Intervall [ 33 , 55 ]  mindestens eine Nullstelle.

Damit hat die Ausgangsgleichung in  [ 33 , 55 ]  mindestens eine Lösung.

Gruß Wolfgang

Comments

Die Vorzeichen zu beachten ist eine clevere Idee.

Woher weiß ich denn, dass f stetig ist? Darf ich das annehmen, da ich weiß, dass e hoch etwas stetig ist und x stetig ist?

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Der Funktionsterm von f: ℝ₀⁺ → ℝ   ist aus Termen bekannter stetiger Grundfunktionen zusammengesetzt. Deshalb ist f stetig.

Answer 2

Also wenn die Gleichung \( 2 e^{\sqrt{x}} = x^2 + 2 \) lautet, dann fallen mir nur numerische Verfahren wie z.B. Newton ein.

Comments

So soll die Funktion lauten :) 

Die Aufgabe dazu ist:

Gibt es Lösungen in R? Gibt es auch Lösungen im Intervall [36,55]? Begrüunden Sie Ihre Antworten.

Wie sollte man dabei nun vorgehen, da ich das Newton Verfahren etc nicht kenne 

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Berechne die Werte der Funktion \( f(x) = 2 e^{\sqrt{x}} - x^2 -2  \) für \( x = 36, 55 \) und wende den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen an.