Stetigkeit gebrochener reeller Funktion (Epsilon-Delta-Kriterium)

Question

Zu zeigen ist, dass f(x)= 3x²-2x ,für x≥0 ; e^x-1 ,für x<0

in x=0 stetig ist. |x|<δ₀ => |f(x)-f(0)|<ε

Nach dem einsetzen und dem Abschätzen nach oben steht da

 für x≥0

|3δ₀²-2δ₀| < ε

für x<0  unter Verwendung von |e^x-1| ≤ |x|/ (1-|x|)  (|x|<1)

δ₀/ (1-δ₀) < ε

Wie lassen sich die Ausdrücke nach δ₀ in Abhängigkeit von ε umstellen ?

Answer 1

|3δ₀²-2δ₀| < ε

|(3δ₀-2)*δ₀| < ε   

und weil Delta jedenfalls < 1 gewählt werden kann , gilt



|(3δ₀-2)|   <   2

  also |(3δ₀-2)*δ₀| < ε    erfüllt, wenn

| 2*δ₀| < ε      also

δ₀ < ε   / 2 .

Für die andere Seite  reicht doch 

e ^δ- 1 < ε

  
e ^δ <  1+ ε 

δ < ln(1+ ε  )   und das klappt , da 1+ε > 1, also

der ln davon positiv ist.

Also muss insgesamt das δ kleiner sein

als das min von    ln(1+ ε  )   und     ε   / 2   und  1 .

Comments

Den Zweiten Teil kann ich nachvollziehen.

Aber warum Delta, wenn es kleiner als 1 gewählt wird,

|(3δ₀-2)|   <   2 ist und daraus folgt, dass  |(3δ₀-2)*δ₀| < ε    erfüllt ist, wenn 

| 2*δ₀| < ε , ist mir noch unklar.      

---

ich glaube dass man ohne beschränkung der allgemeinheit delta kleiner eins wählen kann wenn es in der funktion keine definitionslückenlücken gibt (wie zB gebrochenrationale funktionen der fall sein kann) oder mathef ?

---

oh entschuldigung kann man das löschen das passt ja gar nicht zusammen

---

@Momfred:0< δ < 1 =>  0< 3δ <  3  

=>   -2  < 3δ - 2 < 1
=>      | 3δ - 2 |  <  2    und  0< δ < 1


=>      | 3δ - 2 |  <  2    und  | δ | < 1


=>      | 3δ - 2|  *  | δ | <  2   *  | δ |

---

Jetzt verstehe ich das.

Danke dafür