Wie finde ich Funktionsgleichung ganzrat. Funktion 4. Grades heraus?

Question

Gesucht ist die Funktionsgleichung  einer ganzrat. Funktion 4. Grades. Dazu sind folgende Angaben:

1. y(x) ist gerde Funktion

2.Nullstellen bei x₁=3 und x₂=6

3. Fkt.-Graph berührt y-Achse an y(0)= -3

Meine Überlegungen: Da es gerade Funktion ist, sind die Nullstellen an 3,6,-3 und-6.

Stimmt mein folgender Ansatz: y=(x+3)(x-3)(x+6)(x-6)  ? Und wie gehe ich weiter vor?

Comments

Dein Ansatz muss noch mit einem Streckfaktor, z.B. \(a\), multipliziert werden und lässt sich auch noch ein wenig vereinfachen zu

$$ y(x) = a \cdot \left(x^2-9\right)\left(x^2-36\right) $$Nun kannst du leicht \(y(0)=-3\) verwerten.

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Danke, aber leider bringt mich das noch nicht weiter. Kannst du vielleicht noch ein STück weiter vorrechnen?

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$$ y(0) = -3 \\\quad\Rightarrow\quad a \cdot (-9) \cdot \ (-36) = -3 \\\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{108}.$$also ist $$ y(x) = \dfrac{1}{108} \cdot \left(x^2-9\right)\left(x^2-36\right) $$eine Funktionsgleichung der beschriebenen Funktion. Wobei siehst du da Probleme?

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Ich habe nicht an mögliche Umformungen mit/ohne Klammer gedacht. Im Lösungsbuch steht (-1/108)x⁴ + (5/12)x²  -3 als Lösung.

Ich komme beim Lösen von -108(x²-9) (x²-36) auf (-1/108)x⁴ -45x² +324.

Habe ich dabei schon was falschgemacht? Wie komme ich sonst auf die Lösung vom Lösungsbuch?

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Ok, ich sehe gerade, dass ich das Minuszeichen vor 1/108 vergessen habe, denke es dir bitte hinzu.

Die Lösung im Buch entsteht durch Ausmultiplizieren, das geht zur Not auch schrittweise,

$$ -\dfrac{1}{108} \cdot \left(x^2-9\right)\left(x^2-36\right) = \\-\dfrac{1}{108} \cdot \left(x^4-45x^2+324\right) = \\-\dfrac{1}{108} \cdot x^4+\dfrac{5}{12} \cdot x^2-3.$$Du hast also falsch ausmultipliziert.

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Ja, aber was muss ich denn genau tun, um von deiner zweiten auf deine dritte Zeile zu kommen? Das in der zweiten Zeile ist ja die Lösung von mir gewesen..jetzt bin ich verwirrt.

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Hat sich erledigt, habe meinen Fehler gefunden!

Answer 1

> y=(x+3)(x-3)(x+6)(x-6)

Das  sieht schon mal gut aus.

> Fkt.-Graph berührt y-Achse an y(0)= -3

Das hast du noch ignoriert. Allgemeiner ist

    y=a·(x+3)(x-3)(x+6)(x-6)

Setze 0 für x und -3 für y ein und bestimme a.

Comments

Super, danke.
Ok für a habe ich das richtige Ergebnis (laut Lösungsbuch) heraus. a=-1/108
Wie muss ich denn nun vorgehen, um die gesamte Geichung herauszufinden?

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y=-1/108 ·(x+3)(x-3)(x+6)(x-6)

ist die fertige Lösung.

Du kannst, wenn du willst noch die 3. binomische Formel anwenden und weitere Klammern auflösen.

y=-1/108 ·(x+3)(x-3)(x+6)(x-6)

ist zum Skizzieren und Diskutieren besser geeignet als die Form ohne Klammern. 

~plot~ -1/108 (x+3)(x-3)(x+6)(x-6); [[10]] ~plot~