Wert des Integrals von f(x) = e^ (a * (5-x) ) in Abhängigkeit eines Parameters

Question

Ich habe hier eine Aufgabe zur Integralrechnung, bei der ich einfach nicht weiterkomme...

Sie lautet folgendermaßen: Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom parameter a >0 den Wert des Integrals

$$ \int _{ 5 }^{ \infty  }{ { e }^{ a\cdot (5-x) } } dx $$ 

Die Lösung lautet: 1/a

Ich habe jetzt schon lange probiert mit allen möglichen Stammfunktionen usw. zu rechnen,komme aber einfach auf keinen grünen Zweig und finde im Internet ansonsten keine Besipielaufgabe die meiner hier ähnelt...

!

Answer 1

Mache die Substitution \( z = a(5-x) \) dann folgt \( dz = -a \ dx \)

Damit wird das Integral zu \( \frac{1}{a} \int_{-\infty}^0 e^z \ dz =  \frac{1}{a} \)

Comments

Erstmal

Warum ändern sich denn die oberen und unteren Grenzen des Integrals? Das kann ich irgendwie nicht komplett nachvollziehen:/

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Wenn \( z = a(5-x) \) ist und \( x \in [5, \infty] \) liegt, dann liegt \( z \in [0,-\infty] \)

D.h. das Integral wird mit der Transformation zu

$$ -\frac{1}{a} \int_0^{-\infty} e^z dz =   \frac{1}{a} \int_{-\infty}^0 e^z dz $$ wegen dem Minus vor dem Integral. Und das ergibt \( \frac{1}{a} \)

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Dankesehr für die Antwort !