Hallo Mathefrager,
Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t
Die Funktion \(f(x)=x^2-t^2\) ist eine Parabel, die symmetrisch zur Y-Achse liegt und deren Scheitelpunkt sich unterhalb der X_Achse befindet. Die Parabel wird daher mit der X-Achse eine Fläche \(A(t)\) einschließen (s. Plot unten). Die Grenzen der Fläche bilden die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse - also die sogenannten Nullstellen. Die Nullstellen sind
$$0 = x_{1,2}^2 - t^2 \quad \Rightarrow x_{1,2} = \pm t$$
Folglich ist
$$A(t) = \int_{-t}^{+t} x^2-t^2 \, \text{d}x = \left. \frac13x^3 - xt^2 \right|_{-t}^{+t} \\ \space = \frac13 t^3 - t^3 - \left( -\frac13 t^3 + t^3\right) = -\frac43 t^3$$ Die Fläche \(A(t)\) ist \(\lt 0\), da sie unterhalb der X-Achse liegt. Wir betrachten nur den Betrag:
Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE ?
$$|A(t)| = |-\frac43 t^3 | = 36\text{FE} \quad \Rightarrow t = 3 \text{LE}$$ Der Graph dieser Funktion sieht dann so aus
~plot~ x^2-3^2;[[-5|+5|-10|+4]] ~plot~
falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte noch mal.
Gruß Werner
PS.: sehe den Zusammenhang zu dieser Frage: https://www.mathelounge.de/539693/flacheninhalt-und-integrale-berechnen?show=539741#a539741
Beide Parabeln sind Normalparabeln, beide Flächenabschnitte haben eine Spannweite (d.h. Abstand der Nullstellen) von \(6 \text{LE}\) und eine Höhe von \(9 \text{LE}\). Folglich haben beide den selben Flächeninhalt von \(36\text{FE}\); wenn auch eine oberhalb (positiv) und eine unterhalb (negativ) der X-Achse.
