Ich habe hier eine Aufgabe zur Integralrechnung, bei der ich einfach nicht weiterkomme...
Sie lautet folgendermaßen: Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom parameter a >0 den Wert des Integrals
∫5∞ea⋅(5−x)dx \int _{ 5 }^{ \infty }{ { e }^{ a\cdot (5-x) } } dx ∫5∞ea⋅(5−x)dx
Die Lösung lautet: 1/a
Ich habe jetzt schon lange probiert mit allen möglichen Stammfunktionen usw. zu rechnen,komme aber einfach auf keinen grünen Zweig und finde im Internet ansonsten keine Besipielaufgabe die meiner hier ähnelt...
!
Mache die Substitution z=a(5−x) z = a(5-x) z=a(5−x) dann folgt dz=−a dx dz = -a \ dx dz=−a dx
Damit wird das Integral zu 1a∫−∞0ez dz=1a \frac{1}{a} \int_{-\infty}^0 e^z \ dz = \frac{1}{a} a1∫−∞0ez dz=a1
Erstmal
Warum ändern sich denn die oberen und unteren Grenzen des Integrals? Das kann ich irgendwie nicht komplett nachvollziehen:/
Wenn z=a(5−x) z = a(5-x) z=a(5−x) ist und x∈[5,∞] x \in [5, \infty] x∈[5,∞] liegt, dann liegt z∈[0,−∞] z \in [0,-\infty] z∈[0,−∞]
D.h. das Integral wird mit der Transformation zu
−1a∫0−∞ezdz=1a∫−∞0ezdz -\frac{1}{a} \int_0^{-\infty} e^z dz = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^0 e^z dz −a1∫0−∞ezdz=a1∫−∞0ezdz wegen dem Minus vor dem Integral. Und das ergibt 1a \frac{1}{a} a1
Dankesehr für die Antwort !
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