Stetitgkeit an einer Stelle

Question

Ist die Funktion f_α={x^α *sin(1/x) ,x≠0  ; 0, x=0}  ,α∈{1,2,3}  stetig in 0, differenzierbar in 0 und stetig differenzierbar in 0?

Answer 1

$$ \lim _{x\to 0} ( x* sin(\frac { 1}{ x })) = 0 $$

aber $$ \lim _{x\to 0} \frac {  f(x) - f(0)}{ x-0 }$$ existiert nicht; denn das wäre$$ \lim _{x\to 0}  sin(\frac { 1}{ x }) $$also für α=1 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Bei α=2 ist es

$$ \lim _{x\to 0} ( x^2* sin(\frac { 1}{ x })) = 0 $$

also stetig und 

$$  \frac {  f(x) - f(0)}{ x-0 }$$  gibt

$$ \lim _{x\to 0} (x*  sin(\frac { 1}{ x }))  = 0 $$also diffb. mit f ' (x) = 0 .

Aber für x ≠ 0 ist f ' (x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) und für

x gegen 0 hat das keinen Grenzwert, also ist die Abl.

an der Stelle 0 nicht stetig. Kurz:

Für  α=2  zwar stetig und diffb.  aber nicht stetig differenzierbar.

Für  α= 3  entsprechend, aber da ist 

für x ≠ 0 ist f ' (x) = 3x²*sin(1/x) - x * cos(1/x)  also hat das für

x gegen 0 auch den Grenzwert 0, also  bei 0

stetig und stetig differenzierbar.