H-Methode f(x)=2x^3+x-1 an beliebiger Stelle

Question

Wenden sie die h—Methode an.

f(x) = 2x³ + x – 1.
a) für allgemeines x

Hallo, bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter. Vielleicht könnte mir jemand helfen.

Liebe Grüße und bleibt gesund!

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=2x^3+x-1$$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left(2(x+h)^3+(x+h)-1\right)-\left(2x^3+x-1\right)}{h}$$$$=\frac{\left(2(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+(x+h)-1\right)-\left(2x^3+x-1\right)}{h}$$$$=\frac{\left(2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3+x+h-1\right)-\left(2x^3+x-1\right)}{h}$$$$=\frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+h}{h}=6x^2+6xh+2h^2+1\;\stackrel{(h\to0)}{\to}\;6x^2+1$$

Comments

Ich bedanke mich!

Liebe Grüße:)

---

Könnten sie mir vielleicht noch die einzelnen Schritte ganz kurz in Reihenfolge mitteilen. Dafür wäre ich ihnen sehr dankbar.

---

1) Differenzenquotienten aufstellen

2) Funktionsgleichung in den Differenzenquotienen eintragen

3) Den Zähler des Differenzenquotienten möglichst weit vereinfachen

4) Den Bruch im Zähler und Nenner durch \(h\) kürzen.

5) Den Grenzübergang für \(h\to0\) bilden, indem \(h=0\) eingesetzt wird.

---

Hallo Stefan,

hast du schon bemerkt, dass man dich in der Monatswertung bzgl. aller Punkte "enteignet" hat?  (vgl. auch den Chat)

Gruß Wolfgang

---

Hallo Wolfgang ;)

Ja, das habe ich natürlich gemerkt. Mathelounge hat mir das auch in der Antwort auf meinen Kommentar zum Mathefreund mitgeteilt. Es hat offenbar viele Daumen-hoch von immer denselben Leuten für meine Posts gegeben. Diese Votes wurden nun gelöscht. Dadurch sind meine Punkte für diesen Monat ins Negative gerutscht.

Stefan

---

Das heißt also, dass auch die "Daumenpunkte" der Vormonate gelöscht wurden und es bedeutet weiter, dass mindestens 1500 "Daumen" gelöscht wurden. Mehr, wenn weitere Negativpunkte anstehen (?).

Hat man dir wenigstens mitgeteilt, wer diese "immer gleichen Leute" waren?

Answer 2

Vereinfache \(\frac{\left(2(x+h)^3 + (x+h) - 1\right) - \left(2x^3 + x - 1\right)}{h}\) so, dass du 0 für \(h\) einsetzen darfst.

Answer 3

(f(x + h) - f(x)) / h

= ((2·(x + h)^3 + (x + h) - 1) - (2·x^3 + x - 1)) / h

= ((2·(x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3) + (x + h) - 1) - (2·x^3 + x - 1)) / h

= (2·x^3 + 6·h·x^2 + 6·h^2·x + 2·h^3 + x + h - 1 - 2·x^3 - x + 1) / h

= (6·h·x^2 + 6·h^2·x + 2·h^3 + h) / h

= (6·x^2 + 6·h·x + 2·h^2 + 1) / 1

= 6·x^2 + 6·h·x + 2·h^2 + 1

lim h → 0

= 6·x^2 + 1

Comments

Ich bedanke mich!
Liebe Grüße:)

---

Könnten sie mir vielleicht noch die einzelnen Schritte ganz kurz in Reihenfolge mitteilen. Dafür wäre ich ihnen sehr dankbar.

---

Welchen Schritt verstehst du denn nicht? Vielleicht kann ich so besser helfen.

---

Im ersten Schritt bildet man ja f(x+h) und f(x) und setzt diese ein. Was genau macht man in den beiden darauffolgenden Schritten?

---

Man multipliziert aus und vereinfacht.

Du musst also schreckliche Terme wie

2·(x + h)^3 + (x + h) - 1

zunächst vereinfachen. Also ausmultiplizieren und vereinfachen.

---

((2·(x + h)³ + (x + h) - 1) - (2·x³ + x - 1)) / h

Die blaue Klammer wurde aufgelöst

((2·(x³ + 3·h·x² + 3·h²·x + h³) + (x + h) - 1) - (2·x³ + x - 1)) / h

Dann wurden diese Werte mit 2 multipliziert und die grünen Klammern aufgelöst

(2·x³ + 6·h·x² + 6·h²·x + 2·h³ + x + h - 1 - 2·x³ - x + 1) / h

Die fett geschriebenen Summanden heben sich auf, der Rest wird zusammengefasst.

= (6·h·x² + 6·h²·x + 2·h³ + h) / h

Jetzt wird h ausgeklammert und gekürzt, dann bleibt noch

6·x² + 6·h·x + 2·h² + 1

Wenn h gegen null geht, fallen die fett gedruckten Summanden weg und es bleibt noch f'(x) = 6x^2 +1

Answer 4

f(x+h)=2(x+h)3+x+h-1=2x³+6x²h+6h²x+2h³+x+h-1

                              f(x)=2x³                           +x     -1

 Subtrahieren                __________________________

f(x+h)-f(x)=                           6x²h+6h²x+2h³  +  h

\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) = h(6x²+6hx+2h²+1)/h=6x²+6hx+2h²+1.

Für h=0 ist 6x²+6hx+2h²+1=6x²+1.