Householder-Spiegelungen. Wo liegt mein Fehler?

Question

Aufgabe: 

A = \( \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 0  \\ 0 & 28/5 & 1  \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie unter Angabe der Householder-Spiegelungen die Matrizen Q und R der entsprechenden QR-Zerlegungen für A.

a₁ nenne ich mal die erste Spalte

Berechnen von Q₁:

 α₁=  -sgn(4)* ||a₁||₂

wenn ich das berechne bekomme ich -5 heraus.

mein Vektor v₁ ist: a₁+α₁*e (e= Einheitsvektor)

v₁= \( \begin{pmatrix} -1\\3\\0 \end{pmatrix} \)

Dann berechne ich (2*v₁*v₁^t) / (v₁^t*v₁)

Heraus bekomme ich: \( \frac{1}{5} \) \( \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \) =: Q₁

Dann: Q₁*A =  \( \frac{1}{5} \) \( \begin{pmatrix} 25 & 24 & 0 \\ 0 & -7 & 0 \\ 0 & 28 & 5 \end{pmatrix} \)

Um weiter rechnen zu können verwende ich lediglich den Vektor \( \begin{pmatrix} -7\\28 \end{pmatrix} \)

sobald ich damit α₂ und v₂ berechnen möchte kommen sehr "komische Zahlen" raus mit denen ich nichts weiter anfangen kann.

ich hoffe, dass jemand da durchblickt und mir weiterhelfen kann.

Comments

Hallo,

ich habe es mal nachgerechnet, kann aber keinen Fehler finden.

Gruß

---

Wie sehen deine Ergebnisse denn aus in der Fortsetzung? Ich bekomme zahlen raus, mit denen ich schwer weiterrechnen kann ...

Answer 1

Ajee,

mein erstes Programm Siemens TR440 auf Lochkarten ...;-)

Mein aktuelles Worksheet

\(\small A := \left[ \begin{array}{ccc}4 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & \frac{28}{5} & 1\end{array} \right] \\ \textit{a}_{\textit{1}} := \operatorname{col} \left( A \,;\, 1 \right) \\ \textit{α}_{\textit{1}} := \left(  \operatorname{-} \operatorname{sign} \left( {A}_{\,1\,1\,} \right) \right) \cdot \sqrt{\sum {\overrightarrow{\left( \textit{a}_{\textit{1}} \right)^{2}}}} = { \operatorname{-} 5} \\ \textit{v}_{\textit{1}} := \textit{a}_{\textit{1}}+\textit{α}_{\textit{1}} \cdot \textit{e}_{\textit{1}} = { \left[ \begin{array}{c} \operatorname{-} 1 \\ 3 \\ 0\end{array} \right]} \\ \textit{Q}_{\textit{1}} :=E \left( 3 \right)-\frac{2}{\left( {\left( \textit{v}_{\textit{1}}^{T} \cdot \textit{v}_{\textit{1}} \right)}_{\,1\,} \right)} \cdot \left( \textit{v}_{\textit{1}} \cdot \textit{v}_{\textit{1}}^{T} \right) = { \left[ \begin{array}{ccc}\frac{4}{5} & \frac{3}{5} & 0 \\ \frac{3}{5} &  \operatorname{-} \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right]} \\ \textit{A}_{\textit{1}} := \textit{Q}_{\textit{1}} \cdot A = {\left[ \begin{array}{ccc}5 & \frac{24}{5} & 0 \\ 0 &  \operatorname{-} \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & \frac{28}{5} & 1\end{array} \right]} \\ \textit{a}_{\textit{2}} := {\textit{A}_{\textit{1}}}_{\,{2} \textbf{\,.\,.\,} {3}\,2\,} = {\left[ \begin{array}{c} \operatorname{-} \frac{7}{5} \\ \frac{28}{5}\end{array} \right]} \\ \textit{α}_{\textit{2}} := \left(  \operatorname{-} \operatorname{sign} \left( {\textit{A}}_{\,2\,2\,} \right) \right) \cdot \sqrt{\sum {\overrightarrow{\left( \left| \textit{a}_{\textit{2}} \right| \right)^{2}}}} = { \operatorname{-} \frac{\sqrt{833} \cdot \operatorname{sign} \left(  \operatorname{-} \frac{7}{5} \right)}{\sqrt{25}}} \\ \textit{v}_{\textit{2}} := \textit{a}_{\textit{2}}+\textit{α}_{\textit{2}} \cdot \left[ \begin{array}{c}1 \\ 0\end{array} \right] = {\left[ \begin{array}{c}4.37235 \\ 5.6\end{array} \right]} \\ \textit{Q}_{\textit{2}} :=E \left( 2 \right)-\frac{2}{\left( {\left( \textit{v}_{\textit{2}}^{T} \cdot \textit{v}_{\textit{2}} \right)}_{\,1\,} \right)} \cdot \left( \textit{v}_{\textit{2}} \cdot \textit{v}_{\textit{2}}^{T} \right) = { \left[ \begin{array}{cc}0.24254 &  \operatorname{-} 0.97014 \\  \operatorname{-} 0.97014 &  \operatorname{-} 0.24254\end{array} \right]} \\ \textit{Q}_{\textit{2}} :=  {\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.24254 &  \operatorname{-} 0.97014 \\ 0 &  \operatorname{-} 0.97014 &  \operatorname{-} 0.24254\end{array} \right]} \\ R := \textit{Q}_{\textit{2}} \cdot \textit{Q}_{\textit{1}} \cdot A = {\left[ \begin{array}{ccc}5 & 4.8 & 0 \\ 0 &  \operatorname{-} 5.77235 &  \operatorname{-} 0.97014 \\ 0 &  \operatorname{-} 7.36674 \cdot 10^{ \operatorname{-} 15} &  \operatorname{-} 0.24254\end{array} \right]} \\ \textit{Q}_{\textit{1}}^{T} \cdot \textit{Q}_{\textit{2}}^{T} \cdot R = {\left[ \begin{array}{ccc}4 & 3 &  \operatorname{-} 1.55118 \cdot 10^{ \operatorname{-} 15} \\ 3 & 4 & 2.09865 \cdot 10^{ \operatorname{-} 15} \\ 0 & 5.6 & 1\end{array} \right]} \)