Differenzierbarkeit einer Funktion

Question

Für welche a,b ∈ℝ, a>0 ist die Funktion f(x)={√(a*x), 0<x<a ; a*x²+b , a≤x<∞} differenzierbar?

Comments

Na, die Teilstücke sind sicher differenzierbar, wie sieht es denn so an der Übergangsstelle aus?

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Das ist ja genau das Problem. Die Grenzwerte der Übergangsstellen sind nicht von a abhängig und somit lässt sich keine Aussage darüber treffen wie a gewählt werden muss.

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Die Übergangsstelle ist a.

Answer 1

An der Stelle a muss es jedenfalls stetig sein, also


√(a*x)  =   a*x²+b     für x= a also da a>0

       a = a³ + b   #

Außerdem müssen die Ableitungen zusammenpassen:

a / ( 2√(a*x) )   =  2ax    für x=a

a / 2a           =   2a² 

1/4     =  a²   und wegen a>0

1/2  = a                 Das in #  gibt  3/8 = b