> ... warum es eine lineare Abbildung F: V → W gibt wo gilt F(e1) = e2.
Weil F( (x y)T ) := (y x)T eine solche Abbildung ist.
> Außerdem soll ich alle Abbildungen mit dieser Eigenschaft angeben.
Mit \(A=:\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\a_{2\,1} & a_{2\,2}\end{pmatrix}\) und \(v=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}\) und \(F\left(e_{2}\right)=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\) muss wegen Linearität \begin{aligned}F(v) & =F(v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2})\\ & =v_{1}F(e_{1})+v_{2}F(e_{2})\\ & =v_{1}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+v_{2}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}v_{2}p\\v_{1}+v_{2}q\end{pmatrix}\end{aligned} gelten. Andererseits muss \begin{aligned}F(v) & =\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\a_{2\,1} & a_{2\,2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}a_{1\,1}v_{1}+a_{1\,2}v_{2}\\a_{2\,1}v_{1}+a_{2\,2}v_{2}\end{pmatrix}\end{aligned} gelten. Somit ist \begin{aligned}\begin{pmatrix}v_{2}p\\v_{1}+v_{2}q\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}a_{1\,1}v_{1}+a_{1\,2}v_{2}\\a_{2\,1}v_{1}+a_{2\,2}v_{2}\end{pmatrix},\end{aligned}was zu dem Gleichungssystem \begin{aligned}v_{2}p & =a_{1\,1}v_{1}+a_{1\,2}v_{2}\\v_{1}+v_{2}q & =a_{2\,1}v_{1}+a_{2\,2}v_{2}\end{aligned} führt. Dieses Gleichugnssystem muss für jedes \(v\in\mathbb{R}^{2}\)erfüllt sein. Koeffizientenvergleich liefert \(a_{1\,1}=0\), \(a_{1\,2}=p\), \(a_{2\,1}=1\), \(a_{2\,2}=q\). Also ist \(A=\begin{pmatrix}0 & p\\1 & q\end{pmatrix}\) mit \(p,q\in\mathbb{R}\) beliebig.
