Guten Morgen Simon_W1997,
bei dieser Aufgabe musst Du keine Eigenwerte über das charakteristische Polynom berechnen. Du musst nur um die Bedeutung des Eigenvektors wissen. Wenn man den Eigenvektor einer Matrix A mit A multipliziert, dann erhält man λ (der Eigenwert) mal den Eigenvektor, mit dem Du die Matrix multipliziert hast.
Wir führen also zuerst folgende Rechnung durch:
Wenn wir nun den so entstandenen Vektor mit dem ursprünglich als Eigenvektor angenommenen Vektor $$\left(\begin{matrix}1\\\alpha\\-1\end{matrix}\right)$$ vergleichen, dann sehen wir aufgrund des oberen und unteren Eintrags, dass wir diesen durch die Multiplikation mit -2 erhalten können.
Nun sehen wir aber, dass $$-2\alpha \neq 6\alpha$$ Wenn Du allerdings $$\alpha=0$$ wählst, dann kannst Du den ursprünglichen Vektor durch die Multiplikation mit -2 vollständig in den Ergebnisvektor überführen, denn: $$\left(\begin{matrix}1\\0\\-1\end{matrix}\right)\cdot (-2) = \left(\begin{matrix}-2\\0\\2\end{matrix}\right)$$ Der Wert -2 ist übrigens der zum Eigenvektor
$$\left(\begin{matrix}1\\0\\-1\end{matrix}\right)$$ passende Eigenwert λ.
Ich hoffe, dass ich Dir damit weiterhelfen konnte. Bei Rückfragen kannst Du Dich gerne wieder melden.
André, savest8